Номер 16, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16. Второй член арифметической прогрессии составляет 120 % от первого. $a_2 = 1.2 a_1$. Найдите, сколько процентов от первого члена этой прогрессии составляет её четвёртый член.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — ее разность.

По условию задачи, второй член прогрессии, $a_2$, составляет 120% от первого члена, $a_1$. Переведем проценты в десятичную дробь, разделив на 100: $120\% = 1.2$. Таким образом, мы можем записать следующее соотношение: $a_2 = 1.2 \cdot a_1$

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Для второго члена прогрессии ($n=2$) формула выглядит так: $a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$.

Теперь у нас есть два выражения для $a_2$. Приравняем их, чтобы найти разность прогрессии $d$, выраженную через $a_1$: $a_1 + d = 1.2 \cdot a_1$ Вычтем $a_1$ из обеих частей уравнения: $d = 1.2 \cdot a_1 - a_1$ $d = 0.2 \cdot a_1$ Итак, разность прогрессии составляет 20% от ее первого члена.

Нам необходимо найти, сколько процентов от первого члена составляет четвертый член, $a_4$. Снова используем формулу n-го члена, на этот раз для $n=4$: $a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

Подставим в это уравнение найденное нами выражение для $d$: $a_4 = a_1 + 3 \cdot (0.2 \cdot a_1)$ $a_4 = a_1 + 0.6 \cdot a_1$ $a_4 = 1.6 \cdot a_1$

Мы получили, что четвертый член в 1.6 раза больше первого. Чтобы выразить это соотношение в процентах, необходимо умножить полученный коэффициент на 100: $1.6 \times 100\% = 160\%$

Таким образом, четвертый член арифметической прогрессии составляет 160% от первого члена.

Ответ: 160