Номер 11, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

11. Мотоциклист задержался с выездом на 5 мин. Чтобы наверстать потерянное время, он увеличил намеченную скорость на $10 \frac{\text{КМ}}{\text{Ч}}$. Найдите, с какой скоростью ехал мотоциклист, если путь равен 25 км.

а) 30; б) 40; в) 50; г) 60; д) 70.

Обозначим фактическую скорость мотоциклиста, с которой он ехал, как $x$ км/ч.

Согласно условию, чтобы наверстать время, он увеличил намеченную скорость на 10 км/ч. Следовательно, его намеченная (плановая) скорость была $(x - 10)$ км/ч.

Путь равен 25 км.

Время, которое мотоциклист планировал потратить на дорогу, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ - путь, а $v$ - скорость. Планируемое время:$t_{план} = \frac{25}{x - 10}$ часов.

Фактическое время, которое он потратил на дорогу:$t_{факт} = \frac{25}{x}$ часов.

Мотоциклист задержался на 5 минут. Чтобы наверстать это время, он ехал быстрее, и в результате его фактическое время в пути оказалось на 5 минут меньше планируемого.

Переведем 5 минут в часы:$5 \text{ мин} = \frac{5}{60} \text{ часа} = \frac{1}{12} \text{ часа}$.

Разница между планируемым и фактическим временем составляет $\frac{1}{12}$ часа. Составим уравнение:$t_{план} - t_{факт} = \frac{1}{12}$

Подставим выражения для времени в уравнение:$\frac{25}{x - 10} - \frac{25}{x} = \frac{1}{12}$

Решим это уравнение. Вынесем общий множитель 25 за скобки в левой части:$25 \left( \frac{1}{x - 10} - \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{12}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $x(x - 10)$:$25 \left( \frac{x - (x - 10)}{x(x - 10)} \right) = \frac{1}{12}$

$25 \left( \frac{x - x + 10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{12}$

$25 \left( \frac{10}{x^2 - 10x} \right) = \frac{1}{12}$

$\frac{250}{x^2 - 10x} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции, получаем:$x^2 - 10x = 250 \cdot 12$$x^2 - 10x = 3000$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 10x - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

Найдем корни уравнения:$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{12100}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 110}{2}$

Получаем два корня:$x_1 = \frac{10 + 110}{2} = \frac{120}{2} = 60$$x_2 = \frac{10 - 110}{2} = \frac{-100}{2} = -50$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -50$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, фактическая скорость мотоциклиста равна 60 км/ч.

Проверим:Планируемая скорость: $60 - 10 = 50$ км/ч. Планируемое время: $\frac{25}{50} = 0.5$ часа = 30 минут. Фактическая скорость: 60 км/ч. Фактическое время: $\frac{25}{60}$ часа = $\frac{25}{60} \cdot 60 = 25$ минут. Разница во времени: $30 - 25 = 5$ минут, что соответствует условию задачи.

Ответ: 60.