Номер 7, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Выполните вычитание:

$\frac{b}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab}$

а) $\frac{2b^2 - a^2}{b(b-a)^2}$

б) $\frac{b}{(a-b)^2}$

В) $\frac{a^2}{b(b-a)^2}$

Г) $\frac{a+b}{b-a}$

Д) 1.

Для выполнения вычитания алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Рассмотрим исходное выражение:

$$ \frac{b}{a^2 - 2ab + b^2} - \frac{a+b}{b^2 - ab} $$

Сначала упростим знаменатели каждой дроби. Знаменатель первой дроби, $a^2 - 2ab + b^2$, является формулой квадрата разности:

$$ a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 $$

В знаменателе второй дроби, $b^2 - ab$, вынесем общий множитель $b$ за скобки:

$$ b^2 - ab = b(b-a) $$

После упрощения знаменателей выражение принимает вид:

$$ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b(b-a)} $$

Для приведения к общему знаменателю заметим, что $(a-b)^2 = (-(b-a))^2 = (b-a)^2$. Это позволяет нам использовать $(b-a)$ в качестве основы для общего знаменателя. Перепишем первую дробь, используя это свойство:

$$ \frac{b}{(a-b)^2} = \frac{b}{(b-a)^2} $$

Теперь все выражение выглядит так:

$$ \frac{b}{(b-a)^2} - \frac{a+b}{b(b-a)} $$

Наименьший общий знаменатель для выражений $(b-a)^2$ и $b(b-a)$ равен $b(b-a)^2$.

Приведем каждую дробь к этому общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $b$:

$$ \frac{b \cdot b}{(b-a)^2 \cdot b} = \frac{b^2}{b(b-a)^2} $$

Дополнительный множитель для второй дроби — $(b-a)$:

$$ \frac{(a+b)(b-a)}{b(b-a)(b-a)} = \frac{ab - a^2 + b^2 - ab}{b(b-a)^2} = \frac{b^2 - a^2}{b(b-a)^2} $$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$$ \frac{b^2}{b(b-a)^2} - \frac{b^2 - a^2}{b(b-a)^2} = \frac{b^2 - (b^2 - a^2)}{b(b-a)^2} $$

Раскроем скобки в числителе и упростим полученное выражение:

$$ \frac{b^2 - b^2 + a^2}{b(b-a)^2} = \frac{a^2}{b(b-a)^2} $$

Полученный результат $ \frac{a^2}{b(b-a)^2} $ полностью совпадает с вариантом ответа в).

Ответ: в) $ \frac{a^2}{b(b-a)^2} $