Номер 6, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Решите неравенство $\frac{3x+10}{1-x} \le 0.$

a) $(-\infty; -3\frac{1}{3}] \cup (1; +\infty);$

б) $(-3\frac{1}{3}; 1);$

в) $(-1; -3\frac{1}{3}];$

г) $[-3\frac{1}{3}; 1);$

д) $(-\infty; -3\frac{1}{3}].$

Для решения данного дробно-рационального неравенства $\frac{3x + 10}{1 - x} \le 0$ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому:

$1 - x \neq 0$

$x \neq 1$

2. Найдём нули числителя.

Приравняем числитель к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение равно нулю:

$3x + 10 = 0$

$3x = -10$

$x = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$

3. Применим метод интервалов.

Нанесём на числовую ось точки $x = -3\frac{1}{3}$ и $x = 1$. Точка $x = -3\frac{1}{3}$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое ($\le$). Точка $x = 1$ будет выколотой (не включена в решение), так как она не входит в ОДЗ.

Эти точки делят числовую ось на три интервала. Определим знак выражения на каждом из них:

• Интервал $(1; +\infty)$. Возьмём пробную точку $x=2$:
  $\frac{3(2) + 10}{1 - 2} = \frac{16}{-1} = -16$. Знак отрицательный (–).
• Интервал $(-3\frac{1}{3}; 1)$. Возьмём пробную точку $x=0$:
  $\frac{3(0) + 10}{1 - 0} = \frac{10}{1} = 10$. Знак положительный (+).
• Интервал $(-\infty; -3\frac{1}{3})$. Возьмём пробную точку $x=-4$:
  $\frac{3(-4) + 10}{1 - (-4)} = \frac{-12 + 10}{1+4} = -\frac{2}{5}$. Знак отрицательный (–).

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$). Это соответствует интервалам со знаком «–» и закрашенной точке.

Таким образом, решением является объединение промежутков: $(-\infty; -3\frac{1}{3}] \cup (1; +\infty)$.

Этот результат соответствует варианту а).

Ответ: $(-\infty; -3\frac{1}{3}] \cup (1; +\infty)$.