Номер 10, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

10. Найдите сумму двадцати двух первых членов арифметической прогрессии, если ее разность равна 2, а пятый член прогрессии в 4 раза меньше второго члена.

а) $\frac{21}{2}$;

б) 682;

в) 231;

г) 242;

д) -10.

Для решения задачи воспользуемся формулами арифметической прогрессии. Обозначим первый член прогрессии как $a_1$, а разность как $d$.

По условию задачи нам даны:

• Разность прогрессии: $d = 2$.
• Пятый член прогрессии ($a_5$) в 4 раза меньше второго члена ($a_2$). Это можно записать как уравнение: $a_2 = 4a_5$.

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим второй и пятый члены через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$

$a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d$

Теперь подставим эти выражения в уравнение $a_2 = 4a_5$:

$a_1 + d = 4(a_1 + 4d)$

Мы знаем, что $d=2$. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 2 = 4(a_1 + 4 \cdot 2)$

$a_1 + 2 = 4(a_1 + 8)$

$a_1 + 2 = 4a_1 + 32$

Перенесем слагаемые с $a_1$ в одну сторону, а числа — в другую:

$2 - 32 = 4a_1 - a_1$

$-30 = 3a_1$

$a_1 = \frac{-30}{3}$

$a_1 = -10$

Теперь, зная первый член $a_1 = -10$ и разность $d=2$, мы можем найти сумму двадцати двух первых членов прогрессии ($S_{22}$).

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Подставим наши значения: $n=22$, $a_1 = -10$ и $d=2$:

$S_{22} = \frac{2 \cdot (-10) + (22-1) \cdot 2}{2} \cdot 22$

$S_{22} = \frac{-20 + 21 \cdot 2}{2} \cdot 22$

$S_{22} = \frac{-20 + 42}{2} \cdot 22$

$S_{22} = \frac{22}{2} \cdot 22$

$S_{22} = 11 \cdot 22$

$S_{22} = 242$

Ответ: 242