Номер 14, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14. Найдите разность наибольшего и наименьшего целых решений неравенства $ \frac{1}{x-5} \le \frac{1}{x+7} $.

Для решения данного неравенства перенесем все его члены в одну сторону и приведем к общему знаменателю. Исходное неравенство:

$\frac{1}{x-5} \le \frac{1}{x+7}$

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели не должны быть равны нулю, следовательно, $x \neq 5$ и $x \neq -7$.

Переносим дробь из правой части в левую:

$\frac{1}{x-5} - \frac{1}{x+7} \le 0$

Приводим к общему знаменателю $(x-5)(x+7)$:

$\frac{(x+7) - (x-5)}{(x-5)(x+7)} \le 0$

Раскрываем скобки в числителе и упрощаем выражение:

$\frac{x+7-x+5}{(x-5)(x+7)} \le 0$

$\frac{12}{(x-5)(x+7)} \le 0$

Числитель дроби — это положительное число 12. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю).

$(x-5)(x+7) < 0$

Мы получили квадратичное неравенство. Для его решения используем метод интервалов. Найдем нули выражения, стоящего в левой части:

$(x-5)(x+7) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -7$.

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty; -7)$, $(-7; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x-5)(x+7)$ в каждом интервале. График функции $y=(x-5)(x+7)$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции отрицательны между корнями.

Таким образом, неравенство $(x-5)(x+7) < 0$ выполняется на интервале $(-7; 5)$.

Решением исходного неравенства является интервал $x \in (-7; 5)$.

Теперь необходимо найти все целые числа, входящие в этот интервал. Это числа, которые больше -7 и меньше 5:

-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Наибольшее целое решение — это $x_{max} = 4$.

Наименьшее целое решение — это $x_{min} = -6$.

Найдем разность наибольшего и наименьшего целых решений:

$x_{max} - x_{min} = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$.

Ответ: 10.