Номер 20, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15. Если от них отнять соответственно 2, 3 и 3, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите сумму десяти первых членов данной арифметической прогрессии.

Пусть первые три члена возрастающей арифметической прогрессии — это $a_1, a_2, a_3$. Разность прогрессии обозначим через $d$, причем по условию $d > 0$, так как прогрессия возрастающая.

Члены арифметической прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$: $a_1$, $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$.

По условию, сумма трех первых членов равна 15: $a_1 + a_2 + a_3 = 15$ $a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15$ $3a_1 + 3d = 15$ Разделим обе части уравнения на 3: $a_1 + d = 5$ Заметим, что $a_1 + d$ это второй член прогрессии, $a_2$. Таким образом, $a_2 = 5$.

Теперь мы можем выразить первый и третий члены через второй член $a_2 = 5$: $a_1 = a_2 - d = 5 - d$ $a_3 = a_2 + d = 5 + d$ Итак, три первых члена арифметической прогрессии: $5 - d, 5, 5 + d$.

По второму условию, если от этих членов отнять соответственно 2, 3 и 3, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Обозначим члены новой, геометрической прогрессии как $b_1, b_2, b_3$: $b_1 = a_1 - 2 = (5 - d) - 2 = 3 - d$ $b_2 = a_2 - 3 = 5 - 3 = 2$ $b_3 = a_3 - 3 = (5 + d) - 3 = 2 + d$

Для любой геометрической прогрессии квадрат среднего члена равен произведению его соседей: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$. Подставим наши значения: $2^2 = (3 - d)(2 + d)$ $4 = 6 + 3d - 2d - d^2$ $4 = 6 + d - d^2$ Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $d^2 - d + 4 - 6 = 0$ $d^2 - d - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 1, произведение корней равно -2. Корни легко находятся: $d_1 = 2$ и $d_2 = -1$. Поскольку по условию арифметическая прогрессия является возрастающей, ее разность $d$ должна быть положительной. Следовательно, нам подходит только корень $d = 2$.

Теперь, зная $d=2$, мы можем найти первый член арифметической прогрессии: $a_1 = 5 - d = 5 - 2 = 3$.

Итак, мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 3$ и разностью $d = 2$. Нам нужно найти сумму десяти первых членов этой прогрессии, $S_{10}$. Формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим наши значения $a_1 = 3$, $d = 2$ и $n = 10$: $S_{10} = \frac{2 \cdot 3 + 2(10-1)}{2} \cdot 10$ $S_{10} = \frac{6 + 2 \cdot 9}{2} \cdot 10$ $S_{10} = \frac{6 + 18}{2} \cdot 10$ $S_{10} = \frac{24}{2} \cdot 10$ $S_{10} = 12 \cdot 10 = 120$

Ответ: 120