Номер 18, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18. Упростите выражение

$10 \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \left(\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\right)$ и найдите его значение при $x = 3\sqrt{8}$.

Упростите выражение

Для начала преобразуем выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$, который по формуле разности квадратов равен $x^2 - 2$.

$\frac{x}{x - \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{x + \sqrt{2}} = \frac{x(x + \sqrt{2}) - \sqrt{2}(x - \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})} = \frac{x^2 + x\sqrt{2} - x\sqrt{2} + 2}{x^2 - 2} = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$10 \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 + 2} \cdot \frac{x^2 + 2}{x^2 - 2}$

Сократим общий множитель $(x^2 + 2)$ в числителе и знаменателе:

$10 \cdot \frac{x^2 + x\sqrt{2}}{x^2 - 2}$

Далее вынесем общий множитель $x$ в числителе и разложим знаменатель на множители:

$10 \cdot \frac{x(x + \sqrt{2})}{(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}$

Сократим дробь на $(x + \sqrt{2})$, получив окончательный упрощенный вид.

Ответ: $10 \cdot \frac{x}{x - \sqrt{2}}$

Найдите его значение при $x = 3\sqrt{8}$

Сначала упростим значение $x$:

$x = 3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Теперь подставим $x = 6\sqrt{2}$ в упрощенное выражение:

$10 \cdot \frac{x}{x - \sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Выполним вычитание в знаменателе:

$10 \cdot \frac{6\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$

Сократим дробь на $5\sqrt{2}$ и вычислим результат:

$2 \cdot 6 = 12$

Ответ: 12