Номер 17, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17. Найдите сумму наибольшего и наименьшего корней уравнения

$x^2 - x = 26 - \frac{120}{x^2 - x}$

Данное уравнение $x^2 - x = 26 - \frac{120}{x^2 - x}$ является биквадратным уравнением, которое решается методом введения новой переменной.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби в уравнении не может быть равен нулю, следовательно:

$x^2 - x \neq 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-1) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 1$.

Для упрощения уравнения введем новую переменную. Пусть $t = x^2 - x$. С учетом ОДЗ, $t \neq 0$. Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t = 26 - \frac{120}{t}$

Умножим обе части этого уравнения на $t$, чтобы избавиться от знаменателя:

$t \cdot t = 26 \cdot t - \frac{120}{t} \cdot t$

$t^2 = 26t - 120$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 26t + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 26, а их произведение равно 120. Легко подобрать корни: $t_1 = 6$ и $t_2 = 20$. Оба найденных значения не равны нулю, поэтому они являются допустимыми решениями для переменной $t$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену, чтобы найти значения $x$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $t = 6$

$x^2 - x = 6$

$x^2 - x - 6 = 0$

Это также квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -6. Корнями являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Случай 2: $t = 20$

$x^2 - x = 20$

$x^2 - x - 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна 1, а произведение равно -20. Корнями являются $x_3 = 5$ и $x_4 = -4$. Оба корня также удовлетворяют ОДЗ.

Таким образом, мы нашли все четыре корня исходного уравнения: $\{-4, -2, 3, 5\}$.

По условию задачи требуется найти сумму наибольшего и наименьшего корней.

Наибольший корень: $x_{max} = 5$.

Наименьший корень: $x_{min} = -4$.

Сумма наибольшего и наименьшего корней равна: $5 + (-4) = 1$.

Ответ: 1