Номер 12, страница 210 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Упростите выражение

$\frac{a^{-1}+b^{-1}}{a^{-2}-b^{-2}}:\left(\frac{1}{b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1}}\right)^{-1}$

а) $a+b$;

б) $\frac{a}{b}$;

в) $ab$;

г) $a-b$;

д) $\frac{b}{a}$.

Для упрощения выражения $ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-2} - b^{-2}} : \left(\frac{1}{b^{-1}} - \frac{1}{a^{-1}}\right)^{-1} $ выполним преобразования по действиям.

1. Упростим делимое (первую дробь): $ \frac{a^{-1} + b^{-1}}{a^{-2} - b^{-2}} $.

Используя свойство степени $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, преобразуем числитель и знаменатель:

• Числитель: $a^{-1} + b^{-1} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$.
• Знаменатель: $a^{-2} - b^{-2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = \frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}$.

Теперь подставим преобразованные части обратно в дробь:

$$ \frac{\frac{b+a}{ab}}{\frac{b^2 - a^2}{a^2b^2}} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно умножить первую на перевернутую вторую. Также воспользуемся формулой разности квадратов $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$:

$$ \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{b^2 - a^2} = \frac{b+a}{ab} \cdot \frac{a^2b^2}{(b-a)(b+a)} $$

Сократим общие множители $(b+a)$ и $ab$:

$$ \frac{1}{1} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{ab}{b-a} $$

2. Упростим делитель: $ \left(\frac{1}{b^{-1}} - \frac{1}{a^{-1}}\right)^{-1} $.

Используя свойство $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $, получаем:

$$ \frac{1}{b^{-1}} = b \quad \text{и} \quad \frac{1}{a^{-1}} = a $$

Подставим это в выражение в скобках: $b - a$.

Теперь применим внешнюю степень $(-1)$:

$$ (b - a)^{-1} = \frac{1}{b-a} $$

3. Выполним деление.

Разделим результат первого действия на результат второго:

$$ \frac{ab}{b-a} : \frac{1}{b-a} $$

Для деления умножим на обратную дробь:

$$ \frac{ab}{b-a} \cdot \frac{b-a}{1} $$

Сократив $(b-a)$, получим окончательный результат:

$$ ab $$

Этот результат соответствует варианту ответа в).

Ответ: $ab$