Номер 9, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

9. Сократите дробь $\frac{y^2 + 2y - 15}{y^2 - 9}$.

а) $\frac{y-5}{y-3};$

б) $\frac{y+5}{y+3};$

в) $\frac{y-5}{y+3};$

г) $1\frac{2}{3};$

д) $-1\frac{2}{3}.$

Чтобы сократить дробь $ \frac{y^2 + 2y - 15}{y^2 - 9} $, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $ y^2 + 2y - 15 $. Это квадратный трехчлен. Найдем его корни, решив уравнение $ y^2 + 2y - 15 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней должна быть равна $ -2 $, а их произведение $ -15 $. Подбором находим, что корни уравнения: $ y_1 = 3 $ и $ y_2 = -5 $.

Разложение квадратного трехчлена на множители имеет вид $ a(y - y_1)(y - y_2) $. В данном случае коэффициент $ a = 1 $, поэтому получаем:

$ y^2 + 2y - 15 = (y - 3)(y - (-5)) = (y - 3)(y + 5) $.

Далее разложим на множители знаменатель $ y^2 - 9 $. Для этого используем формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $.

$ y^2 - 9 = y^2 - 3^2 = (y - 3)(y + 3) $.

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{y^2 + 2y - 15}{y^2 - 9} = \frac{(y - 3)(y + 5)}{(y - 3)(y + 3)} $.

Сократим общий множитель $ (y - 3) $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ y - 3 \neq 0 $, то есть $ y \neq 3 $):

$ \frac{\cancel{(y - 3)}(y + 5)}{\cancel{(y - 3)}(y + 3)} = \frac{y + 5}{y + 3} $.

Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, заключаем, что он соответствует варианту б).

Ответ: б) $ \frac{y + 5}{y + 3} $