Номер 8, страница 209 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Решите уравнение $2 - \frac{x^2 + 2x - 3}{x + 3} = 0.$

а) -2; 3;

б) 3;

в) -3;

г) -3; 3;

д) -2.

Исходное уравнение:

$2 - \frac{x^2+2x-3}{x+3} = 0$

Это дробно-рациональное уравнение. Его решение начинается с нахождения Области допустимых значений (ОДЗ), так как в знаменателе дроби находится переменная. Знаменатель не может быть равен нулю.

$x + 3 \neq 0$

$x \neq -3$

Теперь, когда мы определили ОДЗ, можно решать уравнение. Решим его двумя способами.

Способ 1: Упрощение выражения

Попробуем разложить числитель дроби $x^2+2x-3$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2+2x-3=0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $x_1 + x_2 = -2$.

Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -3$.

Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители: $x^2+2x-3 = (x-1)(x-(-3)) = (x-1)(x+3)$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$2 - \frac{(x-1)(x+3)}{x+3} = 0$

Так как мы знаем из ОДЗ, что $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$2 - (x-1) = 0$

Раскроем скобки:

$2 - x + 1 = 0$

$3 - x = 0$

$x = 3$

Полученный корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 \neq -3$), следовательно, он является решением уравнения.

Способ 2: Приведение к общему знаменателю

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+3)$:

$\frac{2(x+3)}{x+3} - \frac{x^2+2x-3}{x+3} = 0$

$\frac{2(x+3) - (x^2+2x-3)}{x+3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (что мы уже учли в ОДЗ). Приравняем числитель к нулю:

$2(x+3) - (x^2+2x-3) = 0$

$2x + 6 - x^2 - 2x + 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x^2 + 9 = 0$

$x^2 = 9$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -3$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию ОДЗ, так как при $x=-3$ знаменатель обращается в ноль. Следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 3