Номер 1, страница 208 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1. Определите, какая из последовательностей является геометрической прогрессией:

1) $\frac{1}{3}$; 1; 3; 9;

2) -1; 2; 4; 8;

3) 6; 2; $\frac{2}{3}$; 2;

4) 33; 34; 35; 36;

5) -10; -20; -30; -40.

а) 1); б) 2); в) 3);

г) 4); д) 5).

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число $q$, называемое знаменателем прогрессии. Чтобы определить, является ли последовательность геометрической, нужно проверить, постоянно ли отношение каждого последующего члена к предыдущему: $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.

Проверим каждый из предложенных вариантов.

Последовательность: $ \frac{1}{3}; 1; 3; 9 $.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{1}{1/3} = 3$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{3}{1} = 3$

$\frac{b_4}{b_3} = \frac{9}{3} = 3$

Отношение постоянно и равно $3$. Следовательно, эта последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: является геометрической прогрессией.

Последовательность: $ -1; 2; 4; 8 $.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{-1} = -2$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{4}{2} = 2$

Так как отношения не равны ($-2 \neq 2$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Последовательность: $ 6; 2; \frac{2}{3}; 2 $.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{2/3}{2} = \frac{2}{3 \cdot 2} = \frac{1}{3}$

$\frac{b_4}{b_3} = \frac{2}{2/3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$

Так как отношения не равны ($\frac{1}{3} \neq 3$), эта последовательность не является геометрической прогрессией.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Последовательность: $ 33; 34; 35; 36 $.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{34}{33}$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{35}{34}$

Так как $\frac{34}{33} \neq \frac{35}{34}$, эта последовательность не является геометрической прогрессией. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Последовательность: $ -10; -20; -30; -40 $.

Найдем отношения последовательных членов:

$\frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{-10} = 2$

$\frac{b_3}{b_2} = \frac{-30}{-20} = \frac{3}{2}$

Так как $2 \neq \frac{3}{2}$, эта последовательность не является геометрической прогрессией. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=-10$.

Ответ: не является геометрической прогрессией.

Таким образом, единственная геометрическая прогрессия из перечисленных — это последовательность под номером 1, которая соответствует варианту ответа a).