Номер 18, страница 208 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

18. Нулями квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ являются числа 5 и -2, наибольшее значение этой функции равно 4. Найдите значение произведения $49a$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами квадратичной функции.

1. Использование нулей функции
Поскольку нулями квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ являются числа $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$, ее можно представить в виде:$y = a(x - x_1)(x - x_2)$Подставим значения нулей в это выражение:$y = a(x - 5)(x - (-2)) = a(x - 5)(x + 2)$

2. Определение координат вершины параболы
Наибольшее значение квадратичной функции (если оно существует) достигается в вершине параболы. Это означает, что ветви параболы направлены вниз, и коэффициент $a$ отрицателен. Абсцисса вершины параболы $x_v$ находится посередине между нулями функции:$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2}$Ордината вершины $y_v$ — это и есть наибольшее значение функции, которое по условию равно 4. Таким образом, координаты вершины параболы: $(\frac{3}{2}, 4)$.

3. Нахождение коэффициента $a$
Вершина параболы принадлежит ее графику, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты вершины $(x_v, y_v) = (\frac{3}{2}, 4)$ в уравнение $y = a(x - 5)(x + 2)$:$4 = a(\frac{3}{2} - 5)(\frac{3}{2} + 2)$Приведем дроби к общему знаменателю:$4 = a(\frac{3}{2} - \frac{10}{2})(\frac{3}{2} + \frac{4}{2})$$4 = a(-\frac{7}{2})(\frac{7}{2})$$4 = a(-\frac{49}{4})$Теперь найдем значение $a$:$a = 4 \cdot (-\frac{4}{49}) = -\frac{16}{49}$

4. Нахождение коэффициента $c$
Свободный член $c$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ равен значению функции при $x=0$. Подставим $x=0$ в полученное нами уравнение функции $y = a(x - 5)(x + 2)$:$c = y(0) = a(0 - 5)(0 + 2) = a(-10)$Теперь, зная значение $a$, найдем $c$:$c = -10 \cdot a = -10 \cdot (-\frac{16}{49}) = \frac{160}{49}$

5. Вычисление произведения $49ac$
Нам осталось найти значение произведения $49ac$, подставив найденные значения $a$ и $c$:$49ac = 49 \cdot (-\frac{16}{49}) \cdot (\frac{160}{49})$Сократим первый множитель 49 и знаменатель дроби $-\frac{16}{49}$:$49ac = -16 \cdot \frac{160}{49}$Выполним умножение в числителе:$49ac = -\frac{16 \cdot 160}{49} = -\frac{2560}{49}$

Ответ: $-\frac{2560}{49}$