Номер 16, страница 208 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16. Найдите значение выражения

$(\sqrt{7}-3)^2 (16+6\sqrt{7})-4\sqrt{3\frac{1}{16}}$

Чтобы найти значение выражения, разобьем его на части и вычислим каждую по отдельности.

Исходное выражение: $(\sqrt{7}-3)^2 (16+6\sqrt{7}) - 4\sqrt{3\frac{1}{16}}$

1. Сначала упростим первую часть выражения, а именно $(\sqrt{7}-3)^2$. Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\sqrt{7}-3)^2 = (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot 3 + 3^2 = 7 - 6\sqrt{7} + 9 = 16 - 6\sqrt{7}$.

2. Теперь подставим полученный результат в произведение:

$(16 - 6\sqrt{7})(16 + 6\sqrt{7})$.

Это выражение соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a=16$ и $b=6\sqrt{7}$:

$(16 - 6\sqrt{7})(16 + 6\sqrt{7}) = 16^2 - (6\sqrt{7})^2 = 256 - (6^2 \cdot (\sqrt{7})^2) = 256 - (36 \cdot 7) = 256 - 252 = 4$.

3. Далее вычислим вторую часть исходного выражения: $-4\sqrt{3\frac{1}{16}}$.

Переведем смешанное число $3\frac{1}{16}$ в неправильную дробь:

$3\frac{1}{16} = \frac{3 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{48+1}{16} = \frac{49}{16}$.

Теперь вычислим значение корня и умножим на -4:

$-4\sqrt{\frac{49}{16}} = -4 \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = -4 \cdot \frac{7}{4}$.

Сократив 4, получаем:

$-4 \cdot \frac{7}{4} = -7$.

4. На последнем шаге сложим результаты, полученные в пунктах 2 и 3:

$4 + (-7) = 4 - 7 = -3$.

Ответ: $-3$.