Номер 12, страница 207 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Определите, график какой из указанных функций изображен на рисунке:

1) $y = 3x - x^2$;

2) $y = 3x^2 - 3$;

3) $y = 3(1 - x^2)$;

4) $y = x^2 + 3x$;

5) $y = 3(1 + x^2)$.

а) 1); б) 2); в) 3);

г) 4); д) 5).

Для определения, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем ключевые особенности параболы, изображенной на рисунке, и последовательно проверим каждый вариант.

Анализ свойств графика:
1. График представляет собой параболу, ветви которой направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ в уравнении функции должен быть отрицательным ($a < 0$).
2. Вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 3)$.
3. График пересекает ось абсцисс (ось O$x$) в точках $x = -1$ и $x = 1$.

Проверка предложенных функций:

1) $y = 3x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 3x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что является отрицательным числом, так что ветви направлены вниз. Это соответствует графику. Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -b / (2a)$. В данном случае $a = -1$, $b = 3$. Получаем: $x_0 = -3 / (2 \cdot (-1)) = 1.5$. На графике же вершина имеет координату $x=0$. Следовательно, данная функция не подходит.

2) $y = 3x^2 - 3$

Коэффициент при $x^2$ равен $3$, что является положительным числом. Это означает, что ветви параболы направлены вверх, что противоречит изображенному графику. Следовательно, эта функция не подходит.

3) $y = 3(1 - x^2)$

Раскроем скобки: $y = 3 - 3x^2$. Перепишем в стандартном виде: $y = -3x^2 + 3$.
– Коэффициент при $x^2$ равен $-3$. Так как $-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, что соответствует графику.
– Найдем вершину. Координата $x$ вершины: $x_0 = -b / (2a) = -0 / (2 \cdot (-3)) = 0$. Координата $y$ вершины: $y_0 = -3(0)^2 + 3 = 3$. Вершина находится в точке $(0, 3)$, что полностью совпадает с графиком.
– Найдем точки пересечения с осью O$x$ (нули функции), приравняв $y$ к нулю: $0 = 3 - 3x^2 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$. Это также соответствует графику.
Все характеристики функции совпадают с графиком. Эта функция является правильным ответом.

4) $y = x^2 + 3x$

Коэффициент при $x^2$ равен $1$. Так как $1 > 0$, ветви параболы направлены вверх, что не соответствует графику. Следовательно, эта функция не подходит.

5) $y = 3(1 + x^2)$

Раскроем скобки: $y = 3 + 3x^2$. Коэффициент при $x^2$ равен $3$. Так как $3 > 0$, ветви параболы направлены вверх, что не соответствует графику. Следовательно, эта функция не подходит.

Таким образом, единственная функция, которая описывает данный график, это $y = 3(1 - x^2)$, указанная под номером 3. В вариантах ответа это соответствует букве в).

Ответ: в) 3).