Номер 6, страница 206 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Решите неравенство $x^2 - 9 < 0$.

а) $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty);$

б) $(-3; 3);$

в) $[-3; 3];$

г) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty);$

д) $(0; +\infty).$

Для решения заданного квадратного неравенства $x^2 - 9 < 0$ необходимо найти все значения $x$, при которых левая часть неравенства будет отрицательной.

Шаг 1: Найдем корни соответствующего уравнения.

Приравняем левую часть к нулю, чтобы найти точки, в которых выражение меняет знак:

$x^2 - 9 = 0$

Это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 3)(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_2 = -3$

Шаг 2: Определим знаки на интервалах.

Корни $x = -3$ и $x = 3$ делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения $x^2 - 9$ на каждом из этих интервалов.

Для этого можно использовать графический метод. Функция $y = x^2 - 9$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1). Парабола пересекает ось абсцисс (Ox) в точках $x = -3$ и $x = 3$.

Нас интересует, где $x^2 - 9 < 0$, то есть где график функции $y = x^2 - 9$ находится ниже оси Ox. Поскольку ветви параболы направлены вверх, она будет принимать отрицательные значения между точками пересечения с осью Ox.

Таким образом, решением неравенства является интервал между -3 и 3. Так как неравенство строгое ($<$), концы интервала не включаются в решение.

Решение: $x \in (-3; 3)$.

Шаг 3: Выберем правильный вариант ответа.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами:

а) $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$

б) $(-3; 3)$

в) $[-3; 3]$

г) $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$

д) $[0; +\infty)$

Наше решение $(-3; 3)$ совпадает с вариантом б).

Ответ: б) $(-3; 3)$