Номер 20, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

20. Найдите сумму значений числа $a$ (значение, если оно единственное), при которых уравнение $a(a+2)x = 1 - x$ не имеет решений.

Для начала преобразуем данное уравнение, приведя его к стандартному виду линейного уравнения $Bx = C$.

Исходное уравнение: $a(a + 2)x = 1 - x$

Перенесем слагаемое с $x$ из правой части в левую: $a(a + 2)x + x = 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части уравнения: $(a(a + 2) + 1)x = 1$

Раскроем скобки в выражении, являющемся коэффициентом при $x$: $(a^2 + 2a + 1)x = 1$

Выражение в скобках $a^2 + 2a + 1$ представляет собой формулу сокращенного умножения — квадрат суммы: $(a + 1)^2$.

Таким образом, уравнение принимает вид: $(a + 1)^2 x = 1$

Линейное уравнение вида $Bx = C$ не имеет решений в том и только в том случае, когда коэффициент $B$ равен нулю, а свободный член $C$ не равен нулю ($B=0$, $C \neq 0$). В этом случае уравнение принимает вид $0 \cdot x = C$, где $C \neq 0$, что невозможно ни при каком значении $x$.

В нашем уравнении коэффициент $B = (a + 1)^2$ и свободный член $C = 1$.

Условие $C \neq 0$ выполняется, так как $1 \neq 0$.

Теперь найдем значения $a$, при которых коэффициент $B$ обращается в ноль: $(a + 1)^2 = 0$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $a + 1 = 0$

$a = -1$

Таким образом, существует только одно значение $a$, при котором уравнение не имеет решений, это $a = -1$.

По условию задачи требуется найти сумму значений числа $a$. Поскольку такое значение единственное, его сумма равна самому этому значению.

Сумма значений $a$ равна -1.

Ответ: -1