Номер 17, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

17. Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если к нему прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра в разряде десятков, а $y$ — цифра в разряде единиц.

Из условия "сумма цифр двузначного числа равна 12" составляем первое уравнение: $x + y = 12$

Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, будет равно $10y + x$. Из условия "если к нему прибавить 18, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке" составляем второе уравнение: $(10x + y) + 18 = 10y + x$

В результате мы получаем систему из двух уравнений: $\begin{cases} x + y = 12 \\ 10x + y + 18 = 10y + x \end{cases}$

Давайте упростим второе уравнение. Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а числовые — в правую: $10x - x + y - 10y = -18$. После приведения подобных слагаемых получаем: $9x - 9y = -18$. Разделим обе части этого уравнения на 9: $x - y = -2$.

Теперь наша система уравнений выглядит следующим образом: $\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = -2 \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим первое и второе уравнения: $(x + y) + (x - y) = 12 + (-2)$, что дает $2x = 10$, откуда $x = 5$.

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$ из первого уравнения $x + y = 12$: $5 + y = 12$, откуда $y = 12 - 5$, то есть $y = 7$.

Таким образом, цифра десятков искомого числа — 5, а цифра единиц — 7. Само число равно 57.

Проведем проверку: Сумма цифр: $5 + 7 = 12$. Это соответствует первому условию. Прибавление 18: $57 + 18 = 75$. Число 75 является числом 57 с переставленными в обратном порядке цифрами. Это соответствует второму условию. Оба условия выполнены.

Ответ: 57