Номер 1, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1) $7\frac{2}{13}$; 2) $\sqrt{21}$; 3) $-2,\overline{53}$; 4) $0,7$; 5) $-\sqrt{5}$.

а) 1); 3); 4);

б) 2); 3); 5);

в) 2); 3); 4);

г) 2); 5);

д) 3); 4).

Для решения задачи необходимо определить, какие из предложенных чисел являются иррациональными. Напомним, что иррациональные числа — это вещественные числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Десятичное представление иррациональных чисел является бесконечным и непериодическим.

Рассмотрим каждое число из списка:

1) $7\frac{2}{13}$

Данное число является смешанной дробью. Его можно представить в виде неправильной дроби: $7\frac{2}{13} = \frac{7 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{93}{13}$. Поскольку число представлено в виде отношения двух целых чисел, оно является рациональным.

2) $\sqrt{21}$

Это квадратный корень из 21. Число 21 не является полным квадратом какого-либо целого числа (так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$). Квадратный корень из натурального числа, которое не является полным квадратом, всегда иррационален. Следовательно, $\sqrt{21}$ — иррациональное число.

3) $-2,(53)$

Это число — бесконечная периодическая десятичная дробь. Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, что означает, что она является рациональным числом. Например, для $-2,(53) = -2.535353...$ можно выполнить преобразование: пусть $x = -2,5353...$, тогда $100x = -253,5353...$. Отсюда $99x = 100x - x = -253,5353... - (-2,5353...) = -251$, и $x = -\frac{251}{99}$. Значит, это рациональное число.

4) $0,7$

Это конечная десятичная дробь. Её можно записать как обыкновенную дробь: $0,7 = \frac{7}{10}$. Следовательно, это рациональное число.

5) $-\sqrt{5}$

Это число является квадратным корнем из 5 со знаком минус. Число 5 не является полным квадратом целого числа ($2^2=4, 3^2=9$). Корень из натурального числа, которое не является полным квадратом, иррационален. Знак минус не меняет этого свойства. Таким образом, $-\sqrt{5}$ — иррациональное число.

Итак, иррациональными числами в данном списке являются $\sqrt{21}$ (номер 2) и $-\sqrt{5}$ (номер 5). Соответствующий вариант ответа — г) 2); 5).

Ответ: г) 2); 5);