Номер 16, страница 205 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16. Найдите $HOK(x_0; y_0)$, где $(x_0; y_0)$ — решение системы уравнений

$\begin{cases}\frac{x+3}{3} - \frac{y-x}{2} = -\frac{2x}{3} + 12, \\\frac{y+x}{3} - \frac{8+x}{9} + \frac{4y}{9} = 5.\end{cases}$

Для того чтобы найти НОК($x_0; y_0$), необходимо сначала решить систему уравнений, найти ее решение $(x_0; y_0)$, а затем вычислить наименьшее общее кратное полученных чисел.

1. Упрощение первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение системы:

$\frac{x+3}{3} - \frac{y-x}{2} = -\frac{2x}{3} + 12$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$6 \cdot \left(\frac{x+3}{3}\right) - 6 \cdot \left(\frac{y-x}{2}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{2x}{3}\right) + 6 \cdot 12$

$2(x+3) - 3(y-x) = -4x + 72$

Раскроем скобки:

$2x + 6 - 3y + 3x = -4x + 72$

Приведем подобные слагаемые:

$5x - 3y + 6 = -4x + 72$

Перенесем переменные в левую часть, а константы — в правую:

$5x + 4x - 3y = 72 - 6$

$9x - 3y = 66$

Разделим обе части уравнения на 3:

$3x - y = 22$

2. Упрощение второго уравнения

Рассмотрим второе уравнение системы:

$\frac{y+x}{3} - \frac{8+x}{9} + \frac{4y}{9} = 5$

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, равный 9:

$9 \cdot \left(\frac{y+x}{3}\right) - 9 \cdot \left(\frac{8+x}{9}\right) + 9 \cdot \left(\frac{4y}{9}\right) = 9 \cdot 5$

$3(y+x) - (8+x) + 4y = 45$

Раскроем скобки:

$3y + 3x - 8 - x + 4y = 45$

Приведем подобные слагаемые:

$2x + 7y - 8 = 45$

Перенесем константу в правую часть:

$2x + 7y = 53$

3. Решение системы уравнений и нахождение НОК

В результате упрощений мы получили следующую систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 3x - y = 22 \\ 2x + 7y = 53 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 3x - 22$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение:

$2x + 7(3x - 22) = 53$

$2x + 21x - 154 = 53$

$23x = 53 + 154$

$23x = 207$

$x = \frac{207}{23} = 9$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x=9$ в выражение $y = 3x - 22$:

$y = 3 \cdot 9 - 22 = 27 - 22 = 5$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x_0; y_0) = (9; 5)$.

На последнем шаге найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел $x_0 = 9$ и $y_0 = 5$.

Числа 9 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1). НОК взаимно простых чисел равно их произведению.

$\text{НОК}(9, 5) = 9 \cdot 5 = 45$

Ответ: 45