Номер 12, страница 204 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

12. Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2}, \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0. \end{cases}$

а) (-4; 3);

б) (4; 3);

в) (3; -4);

г) (4; -3);

д) нет решений.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3} = \frac{5}{2} \\ \frac{3x}{2} + 2y = 0 \end{cases} $$

Для удобства решения преобразуем оба уравнения, избавившись от дробей.

Преобразуем первое уравнение. Для этого умножим все его члены на наименьший общий знаменатель, который равен 6:

$$ 6 \cdot \left(\frac{x+y}{2} - \frac{2y}{3}\right) = 6 \cdot \frac{5}{2} $$

$$ 3(x+y) - 2(2y) = 3(5) $$

$$ 3x + 3y - 4y = 15 $$

$$ 3x - y = 15 $$

Теперь преобразуем второе уравнение, умножив все его члены на 2:

$$ 2 \cdot \left(\frac{3x}{2} + 2y\right) = 2 \cdot 0 $$

$$ 3x + 4y = 0 $$

В результате мы получили эквивалентную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - y = 15 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения (в данном случае, вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:

$$ (3x + 4y) - (3x - y) = 0 - 15 $$

$$ 3x + 4y - 3x + y = -15 $$

$$ 5y = -15 $$

Отсюда находим $y$:

$$ y = \frac{-15}{5} = -3 $$

Подставим найденное значение $y = -3$ в любое из упрощенных уравнений, например, во второе уравнение $3x + 4y = 0$:

$$ 3x + 4(-3) = 0 $$

$$ 3x - 12 = 0 $$

$$ 3x = 12 $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{12}{3} = 4 $$

Итак, решение системы: $x = 4$, $y = -3$. Это соответствует паре чисел $(4; -3)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он совпадает с вариантом г).

Ответ: г) (4; -3)