Номер 8, страница 204 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

8. Определите число решений системы уравнений $ \begin{cases} y = x - 2, \\ y = -x - 2. \end{cases} $

а) 1;

б) нет решений;

в) 2;

г) бесконечно много;

д) больше двух.

Для определения числа решений системы линейных уравнений можно воспользоваться аналитическим или графическим методом.

1. Аналитический метод (метод подстановки)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} y = x - 2 \\ y = -x - 2 \end{cases} $$ В обоих уравнениях переменная $y$ уже выражена. Мы можем приравнять правые части этих уравнений, так как левые части равны:
$x - 2 = -x - 2$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Для этого перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:
$x + x = -2 + 2$
$2x = 0$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{0}{2}$
$x = 0$
Мы получили единственное значение для переменной $x$. Чтобы найти соответствующее значение $y$, подставим $x = 0$ в любое из уравнений исходной системы. Например, в первое:
$y = x - 2 = 0 - 2 = -2$
Таким образом, система имеет единственное решение — пару чисел $(0; -2)$. Следовательно, у системы одно решение.

2. Графический метод

Каждое уравнение системы является уравнением прямой вида $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент (отвечает за наклон прямой), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью OY. Число решений системы равно количеству точек пересечения графиков функций.
Рассмотрим первое уравнение: $y = x - 2$. Здесь угловой коэффициент $k_1 = 1$.
Рассмотрим второе уравнение: $y = -x - 2$. Здесь угловой коэффициент $k_2 = -1$.
Сравним угловые коэффициенты: $k_1 \neq k_2$ ($1 \neq -1$).
Поскольку угловые коэффициенты прямых различны, эти прямые не параллельны и не совпадают, а значит, они пересекаются ровно в одной точке.
Следовательно, система уравнений имеет одно решение.

Ответ: а) 1;