Номер 7, страница 203 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

7. Одно из чисел больше другого на 6. Среднее арифметическое этих чисел равно 20. Укажите систему уравнений, решив которую можно найти эти числа (где $x$ — большее число, а $y$ — меньшее):

1) $\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - y, \\ \frac{x + y}{2} = 20; \end{array} \right.$2) $\left\{ \begin{array}{l} x - y = 6, \\ x + y = 40; \end{array} \right.$

3) $\left\{ \begin{array}{l} x = y - 6, \\ x + y = 10; \end{array} \right.$4) $\left\{ \begin{array}{l} y = 6 - x, \\ \frac{x + y}{2} = 20; \end{array} \right.$

5) $\left\{ \begin{array}{l} y - x = 6, \\ 2(x + y) = 20. \end{array} \right.$

а) 1); б) 2); в) 3); г) 4); д) 5).

Для составления системы уравнений переведем каждое условие задачи на математический язык. В задаче даны два числа: $x$ — большее число, и $y$ — меньшее число.

Первое условие: "Одно из чисел больше другого на 6".

Это означает, что разность между большим числом $x$ и меньшим числом $y$ составляет 6. Таким образом, получаем первое уравнение:

$x - y = 6$

Второе условие: "Среднее арифметическое этих чисел равно 20".

Среднее арифметическое двух чисел вычисляется как их сумма, деленная на 2. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{x + y}{2} = 20$

Составление и упрощение системы:

Объединив два полученных уравнения, мы получаем систему:

$$ \begin{cases} x - y = 6 \\ \frac{x + y}{2} = 20 \end{cases} $$

Эту систему можно упростить. Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x + y = 20 \cdot 2$

$x + y = 40$

Теперь система имеет следующий вид:

$$ \begin{cases} x - y = 6 \\ x + y = 40 \end{cases} $$

Эта система уравнений полностью совпадает с вариантом, предложенным под номером 2). Для уверенности, можно решить эту систему и проверить, соответствуют ли найденные числа исходным условиям.

Решение системы (проверка):

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x - y) + (x + y) = 6 + 40$

$2x = 46$

$x = 23$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$23 + y = 40$

$y = 40 - 23$

$y = 17$

Итак, большее число равно 23, а меньшее — 17. Проверим условия задачи:

1. $23 - 17 = 6$ (одно число больше другого на 6) — верно.
2. $\frac{23 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20$ (среднее арифметическое равно 20) — верно.

Система уравнений составлена правильно.

Ответ: б) 2).