Номер 6, страница 203 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

6. Найдите значение выражения $ \frac{14^5}{(2^2)^3 \cdot 7^5} $

а) 1; б) $ \frac{1}{7} $; в) $ \frac{1}{2} $; г) 2;

д) $ 3\frac{1}{2} $.

Для того чтобы найти значение выражения $\frac{14^5}{(2^2)^3 \cdot 7^5}$, необходимо упростить его, используя свойства степеней.

Сначала преобразуем числитель. Разложим число 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$. Затем, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$$ 14^5 = (2 \cdot 7)^5 = 2^5 \cdot 7^5 $$

Далее преобразуем знаменатель. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$$ (2^2)^3 \cdot 7^5 = 2^{2 \cdot 3} \cdot 7^5 = 2^6 \cdot 7^5 $$

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{14^5}{(2^2)^3 \cdot 7^5} = \frac{2^5 \cdot 7^5}{2^6 \cdot 7^5} $$

Сократим одинаковые множители $7^5$ в числителе и знаменателе. После этого применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ \frac{2^5}{2^6} = 2^{5-6} = 2^{-1} $$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, находим окончательное значение:

$$ 2^{-1} = \frac{1}{2} $$

Данный результат соответствует варианту ответа в).

Ответ: $\frac{1}{2}$.