Номер 40.34, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.34* Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Если к ним прибавить 6, 7, 6 и 1 соответственно, то получатся числа, образующие в том же порядке арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Пусть исходные четыре числа $a, b, c, d$ образуют геометрическую прогрессию. Обозначим первый член этой прогрессии как $b_1 = a$, а знаменатель прогрессии как $q$. Тогда члены прогрессии можно выразить через $a$ и $q$:

$b = aq$

$c = aq^2$

$d = aq^3$

Таким образом, исходная последовательность чисел имеет вид: $a, aq, aq^2, aq^3$.

Согласно условию задачи, если к этим числам прибавить 6, 7, 6 и 1 соответственно, то получатся числа, образующие в том же порядке арифметическую прогрессию. Запишем эти новые числа:

$a_1 = a + 6$

$a_2 = b + 7 = aq + 7$

$a_3 = c + 6 = aq^2 + 6$

$a_4 = d + 1 = aq^3 + 1$

Для любой арифметической прогрессии справедливо свойство, что разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Также верно, что каждый член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Используем это свойство для составления системы уравнений.

$a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2} \implies 2a_2 = a_1 + a_3$

$a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2} \implies 2a_3 = a_2 + a_4$

Подставим выражения для членов новой прогрессии в эти равенства.

Первое уравнение:

$2(aq + 7) = (a + 6) + (aq^2 + 6)$

$2aq + 14 = a + aq^2 + 12$

$aq^2 - 2aq + a = 14 - 12$

$a(q^2 - 2q + 1) = 2$

$a(q - 1)^2 = 2$

Второе уравнение:

$2(aq^2 + 6) = (aq + 7) + (aq^3 + 1)$

$2aq^2 + 12 = aq + aq^3 + 8$

$aq^3 - 2aq^2 + aq = 12 - 8$

$aq(q^2 - 2q + 1) = 4$

$aq(q - 1)^2 = 4$

Теперь необходимо решить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $q$:

$\begin{cases} a(q-1)^2 = 2 \\ aq(q-1)^2 = 4 \end{cases}$

Заметим, что если $q=1$, то левая часть первого уравнения будет равна нулю ($0=2$), что является неверным равенством. Следовательно, $q \neq 1$. Также, если $a=0$, то исходная прогрессия состоит из нулей, а новая последовательность 6, 7, 6, 1 не является арифметической. Значит, $a \neq 0$.

Разделим второе уравнение системы на первое:

$\frac{aq(q-1)^2}{a(q-1)^2} = \frac{4}{2}$

$q = 2$

Теперь подставим найденное значение $q=2$ в первое уравнение, чтобы найти $a$:

$a(2 - 1)^2 = 2$

$a(1)^2 = 2$

$a = 2$

Зная первый член $a=2$ и знаменатель $q=2$, мы можем найти все исходные числа:

$a = 2$

$b = aq = 2 \cdot 2 = 4$

$c = aq^2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$

$d = aq^3 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16$

Проверка:

Исходные числа 2, 4, 8, 16 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=2$.

Новые числа: $2+6=8$, $4+7=11$, $8+6=14$, $16+1=17$.

Последовательность 8, 11, 14, 17 является арифметической прогрессией, так как разность между соседними членами постоянна и равна 3 ($11-8=3$, $14-11=3$, $17-14=3$).

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 2, 4, 8, 16.