Номер 40.27, страница 202 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.27*. В геометрической прогрессии $b_2 = -b_1$. Найдите $S_{100}$.

Пусть $(b_n)$ – данная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию задачи дано, что $b_2 = -b_1$.
Используя формулу для второго члена ($n=2$), получаем: $b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$.
Приравняем два выражения для $b_2$:
$b_1 \cdot q = -b_1$.
Рассмотрим два возможных случая.
Случай 1: $b_1 = 0$.
Если первый член прогрессии равен нулю, то все последующие члены также равны нулю ($b_n = 0$ для любого $n$). Условие $b_2 = -b_1$ (то есть $0 = -0$) выполняется. Сумма ста членов, каждый из которых равен нулю, очевидно, равна нулю: $S_{100} = 0$.
Случай 2: $b_1 \neq 0$.
Если первый член не равен нулю, мы можем разделить обе части равенства $b_1 \cdot q = -b_1$ на $b_1$, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$:
$q = \frac{-b_1}{b_1} = -1$.
Теперь, зная знаменатель, можно найти сумму $S_{100}$. Сделаем это двумя способами.
Первый способ — по формуле суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (формула верна при $q \neq 1$).
Подставим наши значения $n = 100$ и $q = -1$:
$S_{100} = \frac{b_1((-1)^{100} - 1)}{-1 - 1}$.
Поскольку 100 – четное число, $(-1)^{100} = 1$.
$S_{100} = \frac{b_1(1 - 1)}{-2} = \frac{b_1 \cdot 0}{-2} = \frac{0}{-2} = 0$.
Второй способ — проанализировать вид последовательности.
При $q = -1$ члены прогрессии чередуют знак: $b_1, b_1 \cdot (-1), b_2 \cdot (-1), \dots$
То есть, последовательность имеет вид: $b_1, -b_1, b_1, -b_1, \dots$
Сумма $S_{100}$ — это сумма 100 таких членов. Сгруппируем их попарно:
$S_{100} = (b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \dots + (b_{99} + b_{100})$
$S_{100} = (b_1 + (-b_1)) + (b_1 + (-b_1)) + \dots + (b_1 + (-b_1))$
Так как мы суммируем 100 членов, у нас получается ровно $100 / 2 = 50$ пар, сумма каждой из которых равна 0.
$S_{100} = 50 \cdot 0 = 0$.
Оба случая и оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: 0