Номер 40.23, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.23. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если известно, что $S_4 = 180$, $b_3 - b_1 = 36$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

По условию задачи даны два соотношения:

1) $b_3 - b_1 = 36$

2) $S_4 = 180$

Выразим каждое из них через $b_1$ и $q$.

Из первого уравнения, используя формулу $b_3 = b_1 \cdot q^2$, получаем:

$b_1 q^2 - b_1 = 36$

$b_1 (q^2 - 1) = 36 \quad (1)$

Из второго уравнения, представим $S_4$ как сумму членов:

$S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = 180$

Вынесем $b_1$ за скобки и сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$b_1(1 + q + q^2 + q^3) = 180$

$b_1((1 + q) + q^2(1 + q)) = 180$

$b_1(1 + q)(1 + q^2) = 180 \quad (2)$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} b_1(q^2 - 1) = 36 \\ b_1(1+q)(1+q^2) = 180 \end{cases}$

В первом уравнении разложим $q^2 - 1$ как разность квадратов: $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$.

Система примет вид:

$\begin{cases} b_1(q - 1)(q+1) = 36 \\ b_1(1+q)(1+q^2) = 180 \end{cases}$

Разделим уравнение (2) на уравнение (1). Это можно сделать, так как $b_1 \neq 0$ (иначе $b_3 - b_1 = 0 \neq 36$) и $q \neq \pm 1$ (иначе $b_3 - b_1 = 0$ или знаменатель в формуле суммы был бы равен нулю).

$\frac{b_1(1+q)(1+q^2)}{b_1(q-1)(q+1)} = \frac{180}{36}$

Сокращаем общие множители $b_1$ и $(q+1)$:

$\frac{1+q^2}{q-1} = 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $q$:

$1 + q^2 = 5(q-1)$

$1 + q^2 = 5q - 5$

$q^2 - 5q + 6 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $q_1 \cdot q_2 = 6$ и $q_1 + q_2 = 5$. Отсюда получаем корни $q_1 = 2$ и $q_2 = 3$.

Мы получили два возможных значения для знаменателя. Проверим каждое из них.

Случай 1: $q = 2$

Подставим это значение в уравнение (1), чтобы найти $b_1$:

$b_1(2^2 - 1) = 36 \implies b_1(3) = 36 \implies b_1 = 12$.

Проверим, выполняются ли исходные условия для прогрессии с $b_1 = 12$ и $q=2$. Члены прогрессии: $12, 24, 48, 96, \dots$

$b_3 - b_1 = 48 - 12 = 36$ (верно).

$S_4 = 12 + 24 + 48 + 96 = 180$ (верно).

Значит, $q=2$ является решением.

Случай 2: $q = 3$

Подставим это значение в уравнение (1), чтобы найти $b_1$:

$b_1(3^2 - 1) = 36 \implies b_1(8) = 36 \implies b_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5$.

Проверим условия для прогрессии с $b_1 = 4.5$ и $q=3$. Члены прогрессии: $4.5, 13.5, 40.5, 121.5, \dots$

$b_3 - b_1 = 40.5 - 4.5 = 36$ (верно).

$S_4 = 4.5 + 13.5 + 40.5 + 121.5 = 180$ (верно).

Значит, $q=3$ также является решением.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 2 или 3.