Номер 40.19, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.19. Найдите первый член геометрической прогрессии ($b_n$), если известно, что $b_2 \cdot b_8 = 64$, $b_3 \cdot b_4 = 8$.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Используя эту формулу, запишем данные условия в виде системы уравнений: $$ \begin{cases} b_2 \cdot b_8 = 64 \\ b_3 \cdot b_4 = 8 \end{cases} $$

Подставим выражения для членов прогрессии через $b_1$ и $q$:

Для первого уравнения:
$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = b_1 \cdot q^7$
$(b_1 \cdot q) \cdot (b_1 \cdot q^7) = 64$
$b_1^2 \cdot q^{1+7} = 64$
$b_1^2 \cdot q^8 = 64$

Для второго уравнения:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$
$(b_1 \cdot q^2) \cdot (b_1 \cdot q^3) = 8$
$b_1^2 \cdot q^{2+3} = 8$
$b_1^2 \cdot q^5 = 8$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными $b_1$ и $q$: $$ \begin{cases} b_1^2 q^8 = 64 & (1) \\ b_1^2 q^5 = 8 & (2) \end{cases} $$

Разделим уравнение (1) на уравнение (2), чтобы найти знаменатель $q$: $$ \frac{b_1^2 q^8}{b_1^2 q^5} = \frac{64}{8} $$ $$ q^{8-5} = 8 $$ $$ q^3 = 8 $$ $$ q = \sqrt[3]{8} = 2 $$

Теперь, зная $q$, подставим его значение в любое из уравнений системы, например, во второе: $$ b_1^2 \cdot q^5 = 8 $$ $$ b_1^2 \cdot (2)^5 = 8 $$ $$ b_1^2 \cdot 32 = 8 $$ $$ b_1^2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $$

Отсюда находим возможные значения для первого члена $b_1$: $$ b_1 = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad b_1 = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} $$ Оба значения удовлетворяют исходным условиям.

Ответ: $ \frac{1}{2} $ или $ -\frac{1}{2} $.