Номер 40.15, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.15. Представьте в виде обыкновенной несократимой дроби бесконечную десятичную дробь:

а) $0,(135);$

б) $0,23(48).$

а) 0,(135)
Это чистая периодическая десятичная дробь. Обозначим данное число через $x$.
$x = 0,(135) = 0,135135135...$
В периоде этой дроби 3 цифры. Умножим обе части этого равенства на $10^3 = 1000$, чтобы сместить запятую на один период вправо.
$1000x = 135,135135...$
Теперь вычтем из полученного уравнения исходное:
$1000x - x = 135,135135... - 0,135135...$
$999x = 135$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{135}{999}$
Теперь необходимо сократить полученную дробь. Сумма цифр числителя ($1+3+5=9$) и знаменателя ($9+9+9=27$) делится на 9, значит, и сами числа делятся на 9.
$135 \div 9 = 15$
$999 \div 9 = 111$
Получаем дробь: $\frac{15}{111}$.
Сумма цифр нового числителя ($1+5=6$) и нового знаменателя ($1+1+1=3$) делится на 3, значит, сократим дробь на 3.
$15 \div 3 = 5$
$111 \div 3 = 37$
Получаем дробь: $\frac{5}{37}$.
Так как 5 и 37 — простые числа, эта дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{5}{37}$

б) 0,23(48)
Это смешанная периодическая десятичная дробь. Обозначим данное число через $x$.
$x = 0,23(48) = 0,23484848...$
Сначала умножим число на $10^2 = 100$, чтобы часть до периода оказалась слева от запятой.
$100x = 23,484848...$
Теперь у нас есть число, у которого дробная часть является чистой периодической дробью. В периоде 2 цифры, поэтому умножим последнее равенство на $10^2 = 100$.
$100 \cdot 100x = 10000x = 2348,484848...$
Вычтем из последнего равенства то, в котором стоит $100x$:
$10000x - 100x = 2348,484848... - 23,484848...$
$9900x = 2348 - 23$
$9900x = 2325$
Отсюда находим $x$:
$x = \frac{2325}{9900}$
Теперь сократим дробь. Оба числа, числитель и знаменатель, заканчиваются на 25 и 00, соответственно, поэтому они делятся на 25.
$2325 \div 25 = 93$
$9900 \div 25 = 396$
Получаем дробь: $\frac{93}{396}$.
Проверим, делится ли эта дробь на 3. Сумма цифр числителя $9+3=12$ (делится на 3). Сумма цифр знаменателя $3+9+6=18$ (делится на 3). Сократим дробь на 3.
$93 \div 3 = 31$
$396 \div 3 = 132$
Получаем дробь: $\frac{31}{132}$.
Число 31 является простым, а 132 на 31 не делится. Следовательно, эта дробь несократимая.
Ответ: $\frac{31}{132}$