Номер 40.22, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.22. В геометрической прогрессии $b_1 = 3$, $b_2 = 12$, $b_n = 3072$.

Найдите $n$.

Для решения задачи необходимо найти порядковый номер $n$ члена геометрической прогрессии. Известны первый член прогрессии $b_1 = 3$, второй член $b_2 = 12$ и $n$-й член $b_n = 3072$.

Вначале найдем знаменатель геометрической прогрессии $q$. Он равен отношению любого члена прогрессии к предыдущему. Используем $b_1$ и $b_2$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12}{3} = 4$

Теперь воспользуемся формулой для нахождения $n$-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в эту формулу известные нам значения $b_1 = 3$, $q = 4$ и $b_n = 3072$, чтобы составить уравнение относительно $n$:

$3072 = 3 \cdot 4^{n-1}$

Чтобы решить это уравнение, сначала разделим обе его части на 3:

$\frac{3072}{3} = 4^{n-1}$

$1024 = 4^{n-1}$

Далее необходимо представить число 1024 как степень с основанием 4. Выполним подбор степени:

$4^1 = 4$

$4^2 = 16$

$4^3 = 64$

$4^4 = 256$

$4^5 = 1024$

Таким образом, мы можем переписать уравнение в виде:

$4^5 = 4^{n-1}$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$5 = n - 1$

Из этого простого уравнения находим $n$:

$n = 5 + 1$

$n = 6$

Ответ: 6