Номер 40.25, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.25*. В геометрической прогрессии отношение суммы первых 11 членов к сумме последних 11 членов равно $\frac{1}{8}$, а отношение суммы всех членов без первых 9 членов к сумме всех членов без последних 9 равно 2. Найдите число членов прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, $q$ — её знаменатель, а $n$ — общее число членов прогрессии. Из условия следует, что $q \neq 1$, так как в противном случае все члены были бы равны, и отношение суммы первых 11 членов к сумме последних 11 членов было бы равно 1, а не $\frac{1}{8}$. Также очевидно, что $b_1 \neq 0$.

Формула суммы первых $k$ членов геометрической прогрессии: $S_k = \frac{b_1(q^k - 1)}{q - 1}$.

1. Анализ первого условия.

Сумма первых 11 членов прогрессии:$S_{11} = b_1 + b_2 + \dots + b_{11} = \frac{b_1(q^{11} - 1)}{q - 1}$.

Последние 11 членов прогрессии: $b_{n-10}, b_{n-9}, \dots, b_n$. Они также образуют геометрическую прогрессию из 11 членов, где первый член равен $b_{n-10} = b_1 q^{n-11}$, а знаменатель равен $q$. Сумма этих членов (обозначим её $S'_{11}$) составляет:$S'_{11} = \frac{b_{n-10}(q^{11} - 1)}{q - 1} = \frac{b_1 q^{n-11}(q^{11} - 1)}{q - 1}$.

Согласно условию, отношение этих сумм равно $\frac{1}{8}$:$\frac{S_{11}}{S'_{11}} = \frac{\frac{b_1(q^{11} - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1 q^{n-11}(q^{11} - 1)}{q - 1}} = \frac{1}{q^{n-11}}$.

Отсюда получаем первое уравнение:$\frac{1}{q^{n-11}} = \frac{1}{8} \implies q^{n-11} = 8$.

2. Анализ второго условия.

Сумма всех членов без первых 9 — это сумма членов с 10-го по $n$-й: $b_{10} + b_{11} + \dots + b_n$. Это геометрическая прогрессия с первым членом $b_{10} = b_1 q^9$ и количеством членов $(n-10+1) = n-9$. Её сумма (обозначим $A$) равна:$A = \frac{b_{10}(q^{n-9} - 1)}{q - 1} = \frac{b_1 q^9 (q^{n-9} - 1)}{q - 1}$.

Сумма всех членов без последних 9 — это сумма первых $n-9$ членов, то есть $S_{n-9}$. Её сумма (обозначим $B$) равна:$B = S_{n-9} = \frac{b_1(q^{n-9} - 1)}{q - 1}$.

Отношение этих сумм равно 2. Заметим, что $n$ должно быть больше 11 (из первого условия, чтобы было хотя бы 11 последних членов), поэтому $n-9 > 0$ и, так как $q \neq 1$, $q^{n-9}-1 \neq 0$.$\frac{A}{B} = \frac{\frac{b_1 q^9 (q^{n-9} - 1)}{q - 1}}{\frac{b_1(q^{n-9} - 1)}{q - 1}} = q^9$.

Отсюда получаем второе уравнение:$q^9 = 2$.

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $q$ и $n$:1) $q^{n-11} = 8$2) $q^9 = 2$

Представим число 8 в виде степени числа 2: $8 = 2^3$. Подставим это в первое уравнение:$q^{n-11} = 2^3$.

Теперь подставим выражение для 2 из второго уравнения ($2 = q^9$) в преобразованное первое уравнение:$q^{n-11} = (q^9)^3$. Используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем:$q^{n-11} = q^{27}$.

Так как $q^9 = 2$, то очевидно, что $q \neq 1$, $q \neq -1$ и $q \neq 0$. Следовательно, мы можем приравнять показатели степеней:$n - 11 = 27$.

Отсюда находим $n$:$n = 27 + 11 = 38$.

Найденное значение $n=38$ удовлетворяет всем ограничениям задачи (например, $n \ge 11+11=22$ и $n \ge 9+9=18$, что делает осмысленными выражения "последние 11 членов" и "последние 9 членов").

Ответ: 38