Номер 40.18, страница 201 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.18. В геометрической прогрессии с положительными членами ($b_n$) известно, что $b_3 = 16$, $q = 2$, $b_n = 64$. Найдите сумму $n$ первых членов этой прогрессии.

Для решения задачи по нахождению суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$ необходимо последовательно определить три величины: первый член прогрессии $b_1$, количество членов $n$, и саму сумму $S_n$.

1. Нахождение первого члена прогрессии $b_1$.
Воспользуемся формулой $k$-го члена геометрической прогрессии: $b_k = b_1 \cdot q^{k-1}$.
По условию нам известны третий член $b_3 = 16$ и знаменатель $q = 2$. Подставим эти данные в формулу для $k=3$:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$16 = b_1 \cdot 2^2$
$16 = b_1 \cdot 4$
Из этого уравнения находим $b_1$:
$b_1 = \frac{16}{4} = 4$.

2. Нахождение количества членов $n$.
Теперь, когда мы знаем первый член $b_1 = 4$, мы можем определить номер $n$ для члена прогрессии $b_n = 64$. Снова применим формулу $n$-го члена:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
$64 = 4 \cdot 2^{n-1}$
Разделим обе части уравнения на 4:
$\frac{64}{4} = 2^{n-1}$
$16 = 2^{n-1}$
Поскольку число 16 является четвертой степенью числа 2 ($16 = 2^4$), мы можем записать:
$2^4 = 2^{n-1}$
Так как основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$4 = n - 1$
$n = 4 + 1 = 5$.

3. Вычисление суммы первых $n$ членов $S_n$.
Мы установили, что нам нужно найти сумму первых 5 членов прогрессии ($S_5$). Для этого используем формулу суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$
Подставим известные и найденные значения: $b_1 = 4$, $q = 2$ и $n = 5$.
$S_5 = \frac{4(2^5 - 1)}{2 - 1}$
$S_5 = \frac{4(32 - 1)}{1}$
$S_5 = 4 \cdot 31$
$S_5 = 124$.

Ответ: 124.