Номер 40.11, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.11. Найдите значение переменной, при котором последовательность является геометрической прогрессией:

a) $x-2; x-1; x+2; \dots;$

б) $2x; x+2; 4; \dots;$

а) Последовательность является геометрической прогрессией, если отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену постоянно. Это отношение называется знаменателем геометрической прогрессии. Другими словами, для трех последовательных членов геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$ выполняется так называемое характеристическое свойство: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.
В данной последовательности $x - 2; x - 1; x + 2; \dots$ имеем:
$b_1 = x - 2$
$b_2 = x - 1$
$b_3 = x + 2$
Применим характеристическое свойство:
$(x - 1)^2 = (x - 2)(x + 2)$
Раскроем скобки. В левой части используем формулу квадрата разности, а в правой — формулу разности квадратов:
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4$
Теперь решим полученное уравнение:
$x^2 - x^2 - 2x = -4 - 1$
$-2x = -5$
$x = \frac{-5}{-2}$
$x = 2.5$
При $x=2.5$ последовательность принимает вид:
$2.5 - 2; 2.5 - 1; 2.5 + 2; \dots$
$0.5; 1.5; 4.5; \dots$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{1.5}{0.5} = 3$.
Ответ: $x = 2.5$.

б) Для последовательности $2x; x + 2; 4; \dots$ имеем:
$b_1 = 2x$
$b_2 = x + 2$
$b_3 = 4$
Используем характеристическое свойство геометрической прогрессии $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$:
$(x + 2)^2 = (2x) \cdot 4$
Раскроем скобки и упростим выражение:
$x^2 + 4x + 4 = 8x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 4x - 8x + 4 = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Левая часть уравнения является полным квадратом разности:
$(x - 2)^2 = 0$
Решая это уравнение, получаем:
$x - 2 = 0$
$x = 2$
При $x=2$ последовательность принимает вид:
$2 \cdot 2; 2 + 2; 4; \dots$
$4; 4; 4; \dots$
Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: $x = 2$.