Номер 40.7, страница 200 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

40.7. Последовательность $(b_n)$ является геометрической прогрессией, $b_2 = 6$, $b_4 = 24$. Найдите $b_3$.

Для решения данной задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Через нахождение знаменателя прогрессии

Связь между четвертым и вторым членами геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q$ выражается формулой: $b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} = b_2 \cdot q^2$.

Подставим в эту формулу известные значения $b_2 = 6$ и $b_4 = 24$, чтобы найти знаменатель $q$: $24 = 6 \cdot q^2$

Разделим обе части уравнения на 6: $q^2 = \frac{24}{6} = 4$

Данное уравнение имеет два корня: $q = 2$ и $q = -2$.

Теперь найдем третий член прогрессии, используя формулу $b_3 = b_2 \cdot q$.

1. Если $q = 2$, то $b_3 = 6 \cdot 2 = 12$.

2. Если $q = -2$, то $b_3 = 6 \cdot (-2) = -12$.

Способ 2: Через свойство среднего геометрического

Для любой геометрической прогрессии член, стоящий между двумя другими, является их средним геометрическим. В данном случае, $b_3$ находится между $b_2$ и $b_4$. Следовательно, выполняется свойство: $b_3^2 = b_2 \cdot b_4$

Подставим известные значения: $b_3^2 = 6 \cdot 24 = 144$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных значения для $b_3$: $b_3 = \sqrt{144} = 12$ или $b_3 = -\sqrt{144} = -12$.

Ответ: 12 или -12.