Номер 39.50, страница 199 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.50*. Найдите, сколько чисел одновременно являются членами арифметических прогрессий $3; 7; 11; \ldots; 407$ и $2; 9; 16; \ldots; 709$.

Для того чтобы найти количество чисел, которые одновременно являются членами двух заданных арифметических прогрессий, необходимо сначала определить характеристики каждой прогрессии, затем найти прогрессию их общих членов и, наконец, посчитать, сколько членов этой новой прогрессии попадают в заданные рамки.

1. Первая арифметическая прогрессия

Последовательность $3; 7; 11; \dots; 407$ является арифметической прогрессией.

• Первый член: $a_1 = 3$.
• Разность прогрессии: $d_1 = 7 - 3 = 4$.
• Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d_1 = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$.
• Последний член: 407.

2. Вторая арифметическая прогрессия

Последовательность $2; 9; 16; \dots; 709$ также является арифметической прогрессией.

• Первый член: $b_1 = 2$.
• Разность прогрессии: $d_2 = 9 - 2 = 7$.
• Формула m-го члена: $b_m = b_1 + (m-1)d_2 = 2 + (m-1)7 = 7m - 5$.
• Последний член: 709.

3. Прогрессия общих членов

Общие члены двух арифметических прогрессий также образуют арифметическую прогрессию. Найдем ее параметры. Разность этой новой прогрессии будет равна наименьшему общему кратному (НОК) разностей исходных прогрессий:$d_c = \text{НОК}(d_1, d_2) = \text{НОК}(4, 7) = 28$.

Теперь найдем первый общий член, выписав несколько первых членов каждой прогрессии:

• Первая прогрессия: $3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, \dots$
• Вторая прогрессия: $2, 9, 16, 23, 30, \dots$

Первый общий член $c_1 = 23$.

Таким образом, общие члены образуют арифметическую прогрессию $(c_k)$ с первым членом $c_1 = 23$ и разностью $d_c = 28$. Формула k-го общего члена: $c_k = c_1 + (k-1)d_c = 23 + (k-1)28$.

4. Количество общих членов

Каждый общий член должен принадлежать обеим исходным прогрессиям. Это означает, что его значение не может превышать последний член ни одной из них.$c_k \le 407$ и $c_k \le 709$. Чтобы удовлетворить обоим условиям, общий член должен быть не больше наименьшего из последних членов:$c_k \le \min(407, 709)$, то есть $c_k \le 407$.

Найдем, сколько членов прогрессии $(c_k)$ удовлетворяют этому условию. Составим и решим неравенство:$23 + (k-1)28 \le 407$Вычтем 23 из обеих частей неравенства:$(k-1)28 \le 407 - 23$$(k-1)28 \le 384$Разделим обе части на 28:$k-1 \le \frac{384}{28}$Сократим дробь: $\frac{384}{28} = \frac{96 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{96}{7}$.$k-1 \le \frac{96}{7}$$k-1 \le 13\frac{5}{7}$Поскольку $k$ является номером члена прогрессии, $k-1$ должно быть целым неотрицательным числом. Максимальное целое значение, которое может принимать $k-1$, равно 13.$k - 1 \le 13$$k \le 14$Так как нумерация членов начинается с $k=1$, то $k$ может принимать натуральные значения от 1 до 14 включительно. Следовательно, всего существует 14 общих членов.

Ответ: 14.