Номер 39.44, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.44. Найдите сумму всех натуральных чисел, больших 8 и не превосходящих 172, которые при делении на 8 дают в остатке 5.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые больше 8 и не превосходят 172, и при этом при делении на 8 дают в остатке 5.

Такие числа можно описать общей формулой $a = 8k + 5$, где $k$ — целое неотрицательное число. Эти числа образуют арифметическую прогрессию, поскольку каждое следующее число на 8 больше предыдущего. Разность этой прогрессии $d = 8$.

Сначала найдем первый член ($a_1$) этой прогрессии, который удовлетворяет условию "больше 8". Мы ищем наименьшее число вида $8k+5$, которое больше 8. $8k + 5 > 8$
$8k > 3$
$k > \frac{3}{8}$
Поскольку $k$ должно быть целым, наименьшее значение для $k$ равно 1. Первый член прогрессии: $a_1 = 8 \cdot 1 + 5 = 13$.

Теперь найдем последний член ($a_n$) этой прогрессии, который удовлетворяет условию "не превосходящих 172". Мы ищем наибольшее число вида $8k+5$, которое меньше или равно 172. $8k + 5 \le 172$
$8k \le 172 - 5$
$8k \le 167$
$k \le \frac{167}{8}$
$k \le 20.875$
Наибольшее целое значение для $k$ равно 20. Последний член прогрессии: $a_n = 8 \cdot 20 + 5 = 160 + 5 = 165$.

Итак, нам нужно найти сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = 13$, последний член $a_n = 165$, и разность $d = 8$.

Для нахождения суммы нам нужно знать количество членов ($n$) в этой прогрессии. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$. $165 = 13 + (n-1) \cdot 8$
$165 - 13 = (n-1) \cdot 8$
$152 = (n-1) \cdot 8$
$n - 1 = \frac{152}{8}$
$n - 1 = 19$
$n = 20$
Таким образом, в последовательности 20 чисел.

Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы арифметической прогрессии: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ $S_{20} = \frac{13 + 165}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{178}{2} \cdot 20$
$S_{20} = 89 \cdot 20$
$S_{20} = 1780$

Ответ: 1780