Номер 39.38, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.38. Последовательность задана формулой $n$-го члена $c_n = 1 - 2n + n^2$. Является ли членом последовательности число:

а) 0;

б) 11;

в) -13;

г) 1 ?

Дана последовательность с формулой n-го члена $c_n = 1 - 2n + n^2$. Чтобы определить, является ли некоторое число членом этой последовательности, нужно приравнять $c_n$ к этому числу и найти, существует ли для этого уравнения решение в натуральных числах $n$ (т.е. $n=1, 2, 3, ...$).

Заметим, что формулу n-го члена можно представить в более удобном виде, используя формулу квадрата разности: $c_n = n^2 - 2n + 1 = (n-1)^2$.

а) 0;

Проверим, может ли член последовательности быть равным 0. Для этого решим уравнение $c_n = 0$:
$(n-1)^2 = 0$
$n - 1 = 0$
$n = 1$
Поскольку $n = 1$ является натуральным числом, число 0 является членом данной последовательности. Это ее первый член ($c_1$).
Ответ: да, является.

б) 11;

Проверим, может ли член последовательности быть равным 11. Решим уравнение $c_n = 11$:
$(n-1)^2 = 11$
$n - 1 = \pm\sqrt{11}$
$n = 1 \pm\sqrt{11}$
Так как $\sqrt{11}$ является иррациональным числом, то и значения $1 + \sqrt{11}$ и $1 - \sqrt{11}$ не являются натуральными числами. Следовательно, число 11 не является членом этой последовательности.
Ответ: нет, не является.

в) -13;

Проверим, может ли член последовательности быть равным -13. Решим уравнение $c_n = -13$:
$(n-1)^2 = -13$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Данное уравнение не имеет действительных решений для $n$, и, следовательно, не имеет решений в натуральных числах. Значит, число -13 не является членом этой последовательности.
Ответ: нет, не является.

г) 1?

Проверим, может ли член последовательности быть равным 1. Решим уравнение $c_n = 1$:
$(n-1)^2 = 1$
$n - 1 = \pm\sqrt{1}$
Возможны два случая:
1) $n - 1 = 1 \implies n = 2$
2) $n - 1 = -1 \implies n = 0$
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, решение $n=0$ не подходит. Решение $n=2$ является натуральным числом. Следовательно, число 1 является членом данной последовательности. Это ее второй член ($c_2$).
Ответ: да, является.