Номер 39.33, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.33. В арифметической прогрессии ($a_n$) известно, что $S_4 = 9$, $S_6 = 22.5$. Найдите разность данной прогрессии.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Согласно условию, нам известны сумма первых четырех членов $S_4 = 9$ и сумма первых шести членов $S_6 = 22,5$.

Подставим эти данные в формулу, чтобы составить систему уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$.

Для $S_4 = 9$ получаем:

$S_4 = \frac{2a_1 + d(4-1)}{2} \cdot 4 = \frac{2a_1 + 3d}{2} \cdot 4 = (2a_1 + 3d) \cdot 2 = 4a_1 + 6d$

Таким образом, первое уравнение системы: $4a_1 + 6d = 9$.

Для $S_6 = 22,5$ получаем:

$S_6 = \frac{2a_1 + d(6-1)}{2} \cdot 6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = (2a_1 + 5d) \cdot 3 = 6a_1 + 15d$

Таким образом, второе уравнение системы: $6a_1 + 15d = 22,5$.

Теперь необходимо решить полученную систему линейных уравнений:

$\begin{cases} 4a_1 + 6d = 9 \\ 6a_1 + 15d = 22,5 \end{cases}$

Для решения системы методом сложения (вычитания) умножим первое уравнение на 3, а второе — на 2, чтобы уравнять коэффициенты при $a_1$:

$\begin{cases} 3 \cdot (4a_1 + 6d) = 3 \cdot 9 \\ 2 \cdot (6a_1 + 15d) = 2 \cdot 22,5 \end{cases} \implies \begin{cases} 12a_1 + 18d = 27 \\ 12a_1 + 30d = 45 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(12a_1 + 30d) - (12a_1 + 18d) = 45 - 27$

$12a_1 + 30d - 12a_1 - 18d = 18$

$12d = 18$

Найдем разность прогрессии $d$:

$d = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5$

Ответ: 1,5.