Номер 39.26, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.26. Найдите сумму шести первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если известно, что $a_3 + a_4 = \frac{5}{12}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии и формулой суммы первых n членов прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Используя эту формулу, выразим $a_3$ и $a_4$ через $a_1$ и $d$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

По условию задачи, сумма этих членов равна $\frac{5}{12}$:
$a_3 + a_4 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 2a_1 + 5d$
Следовательно, мы имеем равенство:
$2a_1 + 5d = \frac{5}{12}$

Теперь воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам необходимо найти сумму шести первых членов, то есть $S_6$. Подставим $n=6$ в формулу суммы:
$S_6 = \frac{2a_1 + (6-1)d}{2} \cdot 6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6$

Упростим выражение для $S_6$:
$S_6 = (2a_1 + 5d) \cdot \frac{6}{2} = (2a_1 + 5d) \cdot 3$

Мы уже установили, что $2a_1 + 5d = \frac{5}{12}$. Подставим это значение в выражение для $S_6$:
$S_6 = \frac{5}{12} \cdot 3 = \frac{15}{12}$

Сократим полученную дробь:
$S_6 = \frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4}$

Сумму можно также представить в виде десятичной дроби $1.25$.

Ответ: $\frac{5}{4}$