Номер 39.21, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.21. Найдите сумму всех:

а) четных двузначных чисел;

б) нечетных трехзначных чисел.

а)

Для нахождения суммы всех четных двузначных чисел мы рассматриваем их как арифметическую прогрессию.

1. Определим параметры этой прогрессии.
Первый член прогрессии (наименьшее четное двузначное число) — это $a_1 = 10$.
Последний член прогрессии (наибольшее четное двузначное число) — это $a_n = 98$.
Разность прогрессии, так как мы берем только четные числа, равна $d = 2$.

2. Найдем количество членов в этой прогрессии, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$98 = 10 + (n-1) \cdot 2$
$98 - 10 = (n-1) \cdot 2$
$88 = (n-1) \cdot 2$
$n-1 = \frac{88}{2}$
$n-1 = 44$
$n = 45$
Итак, всего существует 45 четных двузначных чисел.

3. Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{45} = \frac{10 + 98}{2} \cdot 45$
$S_{45} = \frac{108}{2} \cdot 45$
$S_{45} = 54 \cdot 45$
$S_{45} = 2430$

Ответ: 2430.

б)

Для нахождения суммы всех нечетных трехзначных чисел мы также рассматриваем их как арифметическую прогрессию.

1. Определим параметры этой прогрессии.
Первый член прогрессии (наименьшее нечетное трехзначное число) — это $b_1 = 101$.
Последний член прогрессии (наибольшее нечетное трехзначное число) — это $b_n = 999$.
Разность прогрессии, так как мы берем только нечетные числа, равна $d = 2$.

2. Найдем количество членов в этой прогрессии, используя формулу n-го члена $b_n = b_1 + (n-1)d$:
$999 = 101 + (n-1) \cdot 2$
$999 - 101 = (n-1) \cdot 2$
$898 = (n-1) \cdot 2$
$n-1 = \frac{898}{2}$
$n-1 = 449$
$n = 450$
Итак, всего существует 450 нечетных трехзначных чисел.

3. Теперь вычислим сумму этих чисел по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии $S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} \cdot n$:
$S_{450} = \frac{101 + 999}{2} \cdot 450$
$S_{450} = \frac{1100}{2} \cdot 450$
$S_{450} = 550 \cdot 450$
$S_{450} = 247500$

Ответ: 247500.