Номер 39.18, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.18. В арифметической прогрессии $a_n$ известно, что $a_5 = 6, a_8 = -3$. Найдите:

а) номер члена, равного 18;

б) сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии.

Для решения задачи сначала необходимо найти первый член арифметической прогрессии $a_1$ и ее разность $d$.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Исходя из условия, что $a_5 = 6$ и $a_8 = -3$, мы можем составить систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} a_5 = a_1 + (5-1)d = a_1 + 4d = 6 \\ a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d = -3 \end{cases}$

Чтобы найти разность $d$, вычтем первое уравнение из второго:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 4d) = -3 - 6$

$3d = -9$

$d = \frac{-9}{3} = -3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d$ в первое уравнение:

$a_1 + 4(-3) = 6$

$a_1 - 12 = 6$

$a_1 = 6 + 12$

$a_1 = 18$

Итак, мы определили, что первый член прогрессии $a_1 = 18$, а разность $d = -3$. Теперь можем ответить на вопросы задачи.

а) номер члена, равного 18

Нужно найти такой номер $n$, для которого член прогрессии $a_n$ будет равен 18. Воспользуемся формулой n-го члена:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим известные значения:

$18 = 18 + (n-1)(-3)$

Вычтем 18 из обеих частей уравнения:

$0 = (n-1)(-3)$

Поскольку произведение равно нулю, а один из множителей ($-3$) не равен нулю, то второй множитель должен быть равен нулю:

$n-1 = 0$

$n=1$

Таким образом, член прогрессии, равный 18, является первым членом.

Ответ: 1

б) сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Нам необходимо найти сумму первых 11 членов, то есть $S_{11}$. Подставим известные значения $n=11$, $a_1=18$ и $d=-3$ в формулу:

$S_{11} = \frac{2 \cdot 18 + (11-1)(-3)}{2} \cdot 11$

$S_{11} = \frac{36 + 10(-3)}{2} \cdot 11$

$S_{11} = \frac{36 - 30}{2} \cdot 11$

$S_{11} = \frac{6}{2} \cdot 11$

$S_{11} = 3 \cdot 11 = 33$

Сумма одиннадцати первых членов этой прогрессии равна 33.

Ответ: 33