Номер 39.19, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.19. В арифметической прогрессии ($a_n$) известно, что $a_3 = 1, d = 2, a_n = 51$. Найдите сумму $n$ первых членов этой прогрессии.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$
Формула для k-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_k = a_1 + (k-1)d$.
По условию задачи нам известен третий член прогрессии $a_3 = 1$ и разность $d = 2$. Подставим эти значения в формулу для $k=3$, чтобы найти $a_1$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d$
$1 = a_1 + 2 \cdot 2$
$1 = a_1 + 4$
$a_1 = 1 - 4$
$a_1 = -3$.

2. Найдем количество членов прогрессии $n$
Теперь, зная первый член $a_1 = -3$, разность $d = 2$ и n-й член $a_n = 51$, мы можем найти общее количество членов $n$.
Воспользуемся той же формулой для n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$51 = -3 + (n-1) \cdot 2$
Перенесем -3 в левую часть уравнения:
$51 + 3 = (n-1) \cdot 2$
$54 = (n-1) \cdot 2$
Разделим обе части уравнения на 2:
$n-1 = \frac{54}{2}$
$n-1 = 27$
Отсюда находим $n$:
$n = 27 + 1 = 28$.

3. Найдем сумму $n$ первых членов прогрессии $S_n$
Для вычисления суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Мы нашли все необходимые для этого значения: $a_1 = -3$, $a_n = 51$ и $n = 28$. Подставим их в формулу суммы:
$S_{28} = \frac{-3 + 51}{2} \cdot 28$
$S_{28} = \frac{48}{2} \cdot 28$
$S_{28} = 24 \cdot 28$
Выполним умножение:
$S_{28} = 672$.

Ответ: 672