Номер 39.27, страница 196 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.27. В арифметической прогрессии $(a_n)$ известно, что $a_2 + a_8 = 10$, $a_3 + a_{14} = 31$. Найдите $a_1$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — это первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

У нас есть два условия, которые можно записать в виде системы уравнений:

$ \begin{cases} a_2 + a_8 = 10 \\ a_3 + a_{14} = 31 \end{cases} $

Выразим каждый член прогрессии из этих уравнений через $a_1$ и $d$:

• $a_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$
• $a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$
• $a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
• $a_{14} = a_1 + (14-1)d = a_1 + 13d$

Теперь подставим эти выражения в нашу систему уравнений:

$ \begin{cases} (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 10 \\ (a_1 + 2d) + (a_1 + 13d) = 31 \end{cases} $

Упростим каждое уравнение:

$ \begin{cases} 2a_1 + 8d = 10 \\ 2a_1 + 15d = 31 \end{cases} $

Первое уравнение можно упростить, разделив обе его части на 2:

$a_1 + 4d = 5$

Теперь наша система выглядит так:

$ \begin{cases} a_1 + 4d = 5 \\ 2a_1 + 15d = 31 \end{cases} $

Для решения системы выразим $a_1$ из первого уравнения:

$a_1 = 5 - 4d$

Подставим это выражение для $a_1$ во второе уравнение:

$2(5 - 4d) + 15d = 31$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d$:

$10 - 8d + 15d = 31$

$10 + 7d = 31$

$7d = 31 - 10$

$7d = 21$

$d = \frac{21}{7} = 3$

Мы нашли разность прогрессии $d = 3$. Теперь, зная $d$, найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение $a_1 = 5 - 4d$:

$a_1 = 5 - 4 \cdot 3$

$a_1 = 5 - 12$

$a_1 = -7$

Ответ: -7