Номер 39.31, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.31. Первый член арифметической прогрессии ($a_n$) равен $429$, ее разность равна $-22$, $S_n = 3069$. Найдите $n$.

По условию задачи, нам дана арифметическая прогрессия $(a_n)$, для которой известны:

• Первый член прогрессии: $a_1 = 429$
• Разность прогрессии: $d = -22$
• Сумма первых $n$ членов прогрессии: $S_n = 3069$

Требуется найти количество членов прогрессии $n$.

Для нахождения $n$ используется формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в эту формулу известные нам значения $a_1$, $d$ и $S_n$:

$3069 = \frac{2 \cdot 429 + (-22)(n-1)}{2} \cdot n$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $n$. Выполним преобразования:

$3069 = \frac{858 - 22(n-1)}{2} \cdot n$

$3069 = \frac{858 - 22n + 22}{2} \cdot n$

$3069 = \frac{880 - 22n}{2} \cdot n$

Разделим выражение в скобках на 2:

$3069 = (440 - 11n)n$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$3069 = 440n - 11n^2$

$11n^2 - 440n + 3069 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-440)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 3069 = 193600 - 135036 = 58564$

Теперь найдем корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{58564} = 242$

Найдем корни уравнения по формуле $n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$n_1 = \frac{440 + 242}{2 \cdot 11} = \frac{682}{22} = 31$

$n_2 = \frac{440 - 242}{2 \cdot 11} = \frac{198}{22} = 9$

Оба полученных значения, $n=9$ и $n=31$, являются натуральными числами, следовательно, оба являются корректными решениями задачи. Наличие двух решений объясняется тем, что прогрессия является убывающей, и сумма её членов с 10-го по 31-й включительно равна нулю, поэтому $S_9 = S_{31}$.

Ответ: 9 или 31.