Номер 39.29, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.29. Дана арифметическая прогрессия ( $a_n$ ). Найдите $\frac{S_{51}}{S_{15}}$, если известно, что $\frac{a_3}{a_9} = 4$.

Пусть $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим члены прогрессии $a_3$ и $a_9$:
$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$
$a_9 = a_1 + (9-1)d = a_1 + 8d$

Согласно условию задачи, $\frac{a_3}{a_9} = 4$. Подставим полученные выражения в это равенство, чтобы найти зависимость между $a_1$ и $d$:
$\frac{a_1 + 2d}{a_1 + 8d} = 4$
$a_1 + 2d = 4(a_1 + 8d)$
$a_1 + 2d = 4a_1 + 32d$
$a_1 - 4a_1 = 32d - 2d$
$-3a_1 = 30d$
$a_1 = -10d$

(Отметим, что $d \neq 0$, так как в противном случае $a_1=0$, и все члены прогрессии равны нулю, что делает исходное отношение $\frac{a_3}{a_9}$ неопределенным. Значит, и знаменатель $a_9 = a_1 + 8d = -10d + 8d = -2d$ не равен нулю.)

Теперь необходимо найти отношение сумм $\frac{S_{51}}{S_{15}}$. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Найдем выражения для $S_{51}$ и $S_{15}$:
$S_{51} = \frac{2a_1 + (51-1)d}{2} \cdot 51 = \frac{2a_1 + 50d}{2} \cdot 51 = (a_1 + 25d) \cdot 51$
$S_{15} = \frac{2a_1 + (15-1)d}{2} \cdot 15 = \frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = (a_1 + 7d) \cdot 15$

Составим их отношение:
$\frac{S_{51}}{S_{15}} = \frac{(a_1 + 25d) \cdot 51}{(a_1 + 7d) \cdot 15}$

Подставим в это отношение найденную ранее зависимость $a_1 = -10d$:
$\frac{S_{51}}{S_{15}} = \frac{(-10d + 25d) \cdot 51}{(-10d + 7d) \cdot 15} = \frac{15d \cdot 51}{-3d \cdot 15}$

Сокращая дробь на $15d$ (так как $d \neq 0$), получаем:
$\frac{S_{51}}{S_{15}} = \frac{51}{-3} = -17$

Ответ: -17