Номер 39.32, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.32. Четыре числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма крайних чисел равна 23, третье число больше второго на 30 %. Найдите наибольшее из чисел.

Пусть четыре числа, образующие арифметическую прогрессию, это $a_1, a_2, a_3, a_4$. Обозначим разность прогрессии через $d$. Тогда члены прогрессии можно выразить через первый член $a_1$ и разность $d$ следующим образом:
$a_1$
$a_2 = a_1 + d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_4 = a_1 + 3d$

Используем условия задачи для составления системы уравнений.

1. Сумма крайних чисел равна 23. Крайние числа — это $a_1$ и $a_4$.
$a_1 + a_4 = 23$
Подставим выражение для $a_4$:
$a_1 + (a_1 + 3d) = 23$
$2a_1 + 3d = 23$

2. Третье число больше второго на 30 %. Это означает, что $a_3$ составляет 130% от $a_2$, или $a_3 = 1.3 \cdot a_2$.
$a_1 + 2d = 1.3 \cdot (a_1 + d)$

Теперь решим полученную систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$.
$\begin{cases} 2a_1 + 3d = 23 \\ a_1 + 2d = 1.3(a_1 + d) \end{cases}$

Упростим второе уравнение:
$a_1 + 2d = 1.3a_1 + 1.3d$
$2d - 1.3d = 1.3a_1 - a_1$
$0.7d = 0.3a_1$
Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$7d = 3a_1$
Выразим $a_1$ через $d$:
$a_1 = \frac{7}{3}d$

Подставим это выражение для $a_1$ в первое уравнение системы:
$2 \cdot (\frac{7}{3}d) + 3d = 23$
$\frac{14}{3}d + 3d = 23$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{14d + 9d}{3} = 23$
$\frac{23d}{3} = 23$
Разделим обе части на 23:
$\frac{d}{3} = 1$
$d = 3$

Теперь найдем $a_1$, используя найденное значение $d=3$:
$a_1 = \frac{7}{3}d = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$

Зная первый член и разность прогрессии, найдем все четыре числа:
$a_1 = 7$
$a_2 = a_1 + d = 7 + 3 = 10$
$a_3 = a_1 + 2d = 7 + 2 \cdot 3 = 13$
$a_4 = a_1 + 3d = 7 + 3 \cdot 3 = 16$

Таким образом, искомые числа: 7, 10, 13, 16. Наибольшее из этих чисел — 16.

Ответ: 16