Номер 39.39, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.39. Дана арифметическая прогрессия ($a_n$). Найдите $\frac{S_{57}}{S_{19}}$, если известно, что $\frac{a_3}{a_8}=2$.

Пусть $(a_n)$ — данная арифметическая прогрессия, $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Используя эту формулу, выразим $a_3$ и $a_8$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d$

$a_8 = a_1 + (8-1)d = a_1 + 7d$

Согласно условию задачи, отношение $\frac{a_3}{a_8} = 2$. Подставим в это равенство полученные выражения:

$\frac{a_1 + 2d}{a_1 + 7d} = 2$

Решим это уравнение, чтобы выразить $a_1$ через $d$. Предполагая, что знаменатель не равен нулю ($a_8 \neq 0$), умножим обе части уравнения на $a_1 + 7d$:

$a_1 + 2d = 2(a_1 + 7d)$

$a_1 + 2d = 2a_1 + 14d$

$2d - 14d = 2a_1 - a_1$

$-12d = a_1$

Мы установили связь между первым членом и разностью прогрессии: $a_1 = -12d$.

Теперь необходимо найти отношение сумм $\frac{S_{57}}{S_{19}}$. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Запишем выражения для $S_{57}$ и $S_{19}$:

$S_{57} = \frac{2a_1 + (57-1)d}{2} \cdot 57 = \frac{2a_1 + 56d}{2} \cdot 57 = (a_1 + 28d) \cdot 57$

$S_{19} = \frac{2a_1 + (19-1)d}{2} \cdot 19 = \frac{2a_1 + 18d}{2} \cdot 19 = (a_1 + 9d) \cdot 19$

Теперь составим искомое отношение:

$\frac{S_{57}}{S_{19}} = \frac{(a_1 + 28d) \cdot 57}{(a_1 + 9d) \cdot 19}$

Подставим в это выражение ранее найденное соотношение $a_1 = -12d$:

$\frac{S_{57}}{S_{19}} = \frac{(-12d + 28d) \cdot 57}{(-12d + 9d) \cdot 19} = \frac{16d \cdot 57}{-3d \cdot 19}$

Если $d=0$, то и $a_1=0$, все члены прогрессии равны 0, а исходное частное $\frac{a_3}{a_8}$ не определено. Следовательно, $d \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $d$:

$\frac{S_{57}}{S_{19}} = \frac{16 \cdot 57}{-3 \cdot 19}$

Учитывая, что $57 = 3 \cdot 19$, произведем сокращение:

$\frac{S_{57}}{S_{19}} = \frac{16 \cdot (3 \cdot 19)}{-3 \cdot 19} = \frac{16}{-1} = -16$

Ответ: -16.