Номер 39.41, страница 198 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.41. Время, затрачиваемое велосипедистом на прохождение каждого очередного километра пути, на одно и то же число секунд больше, чем время, затраченное им на прохождение предыдущего километра. Известно, что на прохождение второго и четвертого километров после старта он затратил в сумме 3 мин 20 с. Найдите, за какое время велосипедист проехал первые 5 км после старта.

Пусть $t_n$ — время в секундах, которое велосипедист тратит на прохождение $n$-го километра. Поскольку время, затрачиваемое на каждый следующий километр, увеличивается на одно и то же число секунд, последовательность $t_1, t_2, t_3, \ldots$ является арифметической прогрессией.

Обозначим первый член этой прогрессии как $a_1$ (время на первый километр), а разность прогрессии — как $d$ (постоянное увеличение времени в секундах). Тогда время на прохождение $n$-го километра ($t_n$) вычисляется по формуле $n$-го члена арифметической прогрессии: $t_n = a_1 + (n-1)d$

Из условия задачи известно, что на прохождение второго и четвертого километров в сумме было затрачено 3 минуты 20 секунд. Сначала переведем это время в секунды для удобства расчетов: $3 \text{ мин } 20 \text{ с} = 3 \times 60 + 20 = 180 + 20 = 200 \text{ с}$.

Запишем это условие в виде уравнения: $t_2 + t_4 = 200$

Теперь выразим $t_2$ и $t_4$ через $a_1$ и $d$: $t_2 = a_1 + (2-1)d = a_1 + d$ $t_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$

Подставим эти выражения в наше уравнение: $(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 200$ $2a_1 + 4d = 200$

Разделим обе части уравнения на 2: $a_1 + 2d = 100$

Нам необходимо найти общее время, затраченное на первые 5 км. Это сумма первых пяти членов арифметической прогрессии, $S_5$. Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$

Для $n=5$ формула примет вид: $S_5 = \frac{2a_1 + (5-1)d}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5$

Вынесем 2 за скобки в числителе: $S_5 = \frac{2(a_1 + 2d)}{2} \cdot 5 = (a_1 + 2d) \cdot 5$

Ранее мы уже нашли, что $a_1 + 2d = 100$. Подставим это значение в формулу для $S_5$: $S_5 = 100 \cdot 5 = 500 \text{ секунд}$.

Теперь переведем полученный результат обратно в минуты и секунды: $500 \text{ с} = 8 \times 60 + 20 \text{ с} = 8 \text{ мин } 20 \text{ с}$.

Ответ: 8 мин 20 с.