Номер 39.37, страница 197 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

39.37. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, если известно, что сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10.

Пусть дана арифметическая прогрессия $(a_n)$.

По условию задачи, сумма третьего, седьмого, четырнадцатого и восемнадцатого членов этой прогрессии равна 10. Запишем это в виде уравнения:

$a_3 + a_7 + a_{14} + a_{18} = 10$

Воспользуемся свойством арифметической прогрессии, согласно которому, если суммы индексов членов равны, то равны и суммы самих членов. То есть, если $k + l = m + p$, то $a_k + a_l = a_m + a_p$.

В нашем случае, обратим внимание на индексы данных членов: 3, 7, 14, 18. Мы видим, что $3 + 18 = 21$ и $7 + 14 = 21$.

Следовательно, мы можем утверждать, что $a_3 + a_{18} = a_7 + a_{14}$.

Теперь сгруппируем слагаемые в исходном уравнении:

$(a_3 + a_{18}) + (a_7 + a_{14}) = 10$

Поскольку $a_3 + a_{18} = a_7 + a_{14}$, мы можем заменить вторую скобку на первую:

$(a_3 + a_{18}) + (a_3 + a_{18}) = 10$

$2(a_3 + a_{18}) = 10$

$a_3 + a_{18} = 5$

Нам необходимо найти сумму первых двадцати членов прогрессии ($S_{20}$). Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Для $n = 20$ формула примет вид:

$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20 = 10 \cdot (a_1 + a_{20})$

Снова воспользуемся свойством арифметической прогрессии. Сумма индексов для членов $a_1$ и $a_{20}$ равна $1 + 20 = 21$. Эта сумма равна сумме индексов $3 + 18 = 21$.

Следовательно, $a_1 + a_{20} = a_3 + a_{18}$.

Так как мы уже нашли, что $a_3 + a_{18} = 5$, то и $a_1 + a_{20} = 5$.

Теперь мы можем вычислить $S_{20}$:

$S_{20} = 10 \cdot (a_1 + a_{20}) = 10 \cdot 5 = 50$

Таким образом, сумма первых двадцати членов арифметической прогрессии равна 50.

Ответ: 50